Funzione generatrice dei momenti
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La funzione generatrice dei momenti viene usata in statistica per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali (v.c.), permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza) dall'altro di confrontare due diverse v.c. e vedere il loro comportamento in condizioni limite.
La funzione generatrice dei momenti g(t) di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di etX, dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da X). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che X non possiede funzione generatrice dei momenti.
Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene
![\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \sum_{i=1}^{n} p_{i} e^{tX_{i}}](../../../math/6/3/9/639d49b84c838f3c6d6ceb047b6726d7.png)
mentre per la variabili casuali continue:
![\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx](../../../math/2/1/6/216ce6fbcc1813746a7122f944d8da02.png)
dove 
, fX(x) denotano le funzioni di massa (densità nel caso continuo) della v.c. in questione.
Dalla f.g.m. è possibile ricavare i momenti semplici di ordine k derivando k volte g(t) con t=0. Vale a dire:
dall'ultima espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza.
[modifica] Teoremi
Se 
sono v.c. (anche non indipendenti) e 
la loro somma:
allora la funzione generatrice dei momenti di è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole 
:
-
.
