Funzione liscia

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In matematica una funzione liscia è una funzione che ammette derivate parziali di qualsiasi ordine.

Una funzione è detta di classe C, o più comunemente C⁰, se è una funzione continua. Una funzione è di classe C¹ se ammette tutte le derivate parziali prime e queste sono funzioni continue. Una funzione è di classe Cⁿ per n ≥ 1 se essa ha tutte le derivate parziali di ordine n continue.

Le funzioni lisce sono quelle che giacciono nella classe Cⁿ per tutti gli n; ad esse vi si riferisce spesso anche come funzioni C^∞.

Per esempio la funzione esponenziale è evidentemente una funzione liscia, avendo derivate di qualsiasi ordine e pari a sé stessa.

[modifica] Definizione per le varietà differenziabili

Siano $M, N$ varietà differenziabili e p un punto di M. Una funzione

$F:M\rightarrow N$

è detta differenziabile, o liscia, o di classe $C^\infty$ in p se esistono una carta $(U,φ)$ in p ed una carta $(V,ψ)$ in F(p) tali che $F(U)\subset V$ e la composizione

$\psi\circ\ F\circ \phi^{-1}:\phi (U)\rightarrow \psi (V)$

sia liscia in un intorno di $φ(p)$ .

Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte $(U',φ')$ , $(V',φ')$ la composizione $\psi '\circ\ F\circ \phi '^{-1}$ rimane liscia in un intorno di $φ(p)$ .

F sarà detta differenziabile, o liscia, o di classe $C^\infty$ se lo è per ogni p in M. Se inoltre F è invertibile con inversa liscia allora F si dirà un diffeomorfismo. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della topologia differenziale.

[modifica] Costruire funzioni lisce tramite restrizioni

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato intervallo, ma non all'interno dello stesso; tale proprietà non si può mai avere per una serie di potenze, il che mostra il divario tra le funzioni lisce e quelle analitiche. Il teorema di Taylor non può, pertanto, essere applicato in generale per espandere funzioni lisce.

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