Funzione q-esponenziale
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.
[modifica] Definizioni
Consideriamo le seguenti funzioni
e
.
dove
è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà
dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio
![\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} =[n]_q z^{n-1}](../../../math/d/9/0/d90859ba9a5bdb25a363164e96e31cfb.png)
.
Qui [n]q denota il q-bracket.
[modifica] Proprietà
Per q reale con q < 1 la funzione eq(z) è una funzione intera di z.
[modifica] Espressione ipergeometrica
In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale eq(t) viene espressa da
.
Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.
