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Funzione sigma - Wikipedia

Funzione sigma

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

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La funzione $\sigma\left(n\right)$ è una funzione aritmetica definita come la somma di tutti i divisori positivi di n

$\sigma\left(n\right)=\sum_{d|n}d$

la funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle $α$ -esime potenze dei divisori di n

$\sigma_\alpha\left(n\right)=\sum_{d|n}d^\alpha$

[modifica] Proprietà

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa ma non completamente moltiplicativa e soddisfa l' identità

$\sigma_\alpha\left(n\right)=\prod_{p^m||n}\frac{p^{\alpha\left(m+1\right)}-1}{p^\alpha-1}$

altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

$-\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1-x^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{-1}\left(n\right)x^n$

e

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_\alpha\left(n\right)}{n^s}=\zeta\left(s\right)\zeta\left(s-\alpha\right)$

dove $\zeta\left(s\right)$ è la funzione zeta di Riemann.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../f/u/n/Funzione_sigma.html"

Categorie: Stub matematica | Teoria dei numeri

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