Funzioni polidrome

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Una funzione complessa di variabile complessa è polidroma quando associa ad ogni valore della variabile z più valori della funzione f(z).

Indice

1 Radice ennesima
2 Logaritmo
3 Altre caratteristiche della polidromia
4 Voci correlate

[modifica] Radice ennesima

La più semplice e immediata funzione polidroma è la potenza ennesima di una variabile complessa:

$\sqrt[n]{z} \; \; \; n \in \mathbb{Z}$

intesa come inversa della funzione monodroma $z n$ . Ebbene usando la rappresentazione polare $z = ρ e i θ$ ricordando che ogni numero complesso espresso in forma polare deve riportare l'intervallo di definizione dell'argomento $0 \le \theta < 2 \pi$ affinchè il numero sia ben definito (ovviamente $ρ > 0$ ):

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \cdot \sqrt[n]{e^{i \theta + i 2 k \pi}}= \sqrt[n]{\rho} \left(e^{\frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}} \right)$

si vede chiaramente che se $\sqrt[n]{\rho}$ è ben definito, viceversa l'argomento della funzione radice ennesima:

$arg(\sqrt[n]{z}) = \frac{i \theta + i 2 k \pi}{n}$

è chiaramente non definitivamente determinato. Questo implica che anche se $z n$ è univocamente determinato dalla determinazione principale del suo argomento, la sua inversa non è univocamente determinata, di conseguenza si avranno n valori, in corrispondenza degli n valori dell'argomento di $\sqrt[n]{z}$ . Per ritornare allo stesso punto bisogna dunque eseguire n giri intorno all'origine. Da notare che la funzione resta monodroma se restringiamo l'intervallo di definizione dell'argomento ad un settore tra n ed n+1.

[modifica] Logaritmo

Consideriamo un'altra tipica funzione polidroma che è anche discontinua su tutta una semiretta uscente dall'origine come:

L o g z = l o g | z | + i θ + i k 2π

cioè la branca principale del logaritmo, dove $θ$ è la fase per $0 \le \theta \le 2\pi$ che assume gli infiniti valori: $log z = Log z + n \cdot 2\pi i$ . Ovviamente questo discorso vale anche per il logaritmo naturale e il logaritmo su qualsiasi base.

[modifica] Altre caratteristiche della polidromia

Caratteristica di molte funzioni polidrome è l'esistenza di punti di singolarità non isolate che sono detti punti di diramazione di ordine n, se compiendo $n + 1$ giri nello stesso verso, la funzione assume sempre lo stesso valore iniziale ed è invece un punto di diramazione di ordine infinito, se per quante volte si giri intorno al punto singolare la funzione non torna mai ad assumere lo stesso valore iniziale. A parte i due punti di diramazione in zero e all'infinito la funzione logaritmo è analitica. Ciò significa che si può sviluppare in serie di Taylor entro un cerchio di convergenza di centro $z 0$ di raggio $| z 0 |$ :

$log z = log z_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac {\left[\frac {z-z_0}{z} \right]^n}{n}$