Intero libero da quadrati
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In matematica, un intero libero da quadrati o privo di quadrati è un numero che non è divisibile per nessuno quadrato perfetto tranne 1. Ad esempio, 10 è libero da quadrati, mentre 18 no, in quanto è divisibile per 9 = 32. I più piccoli interi liberi da quadrati sono (sequenza A005117 dell'OEIS):
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46...
[modifica] Definizioni equivalenti dei numeri liberi da quadrati
Un intero n è libero da quadrati se e solo se nella sua fattorizzazione prima nessun numero primo appare più di una volta. Un'altra definizione equivalente è che per ogni divisore primo p di n, il primo p non divide n / p. Un'altra formulazione ancora: n è libero da quadrati se e solo se in ogni scrittura nella forma n=ab, i fattori a e b sono coprimi.
L'intero positivo n è libero da quadrati se e solo se μ(n) ≠ 0, dove μ indica la funzione di Möbius.
L'intero positivo n è libero da quadrati se e solo se tutti i gruppi abeliani di ordine n sono isomorfi, cosa che avviene se e solo se sono tutti ciclici. Questo deriva dalla classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Un intero n è libero da quadrati se e solo se il gruppo fattore Z / n Z (vedi aritmetica modulare) è un prodotto di campi. Ciò deriva dal teorema cinese del resto e dal fatto che un anello nella forma Z / k Z sia un campo se e solo se k è primo.
Per ogni intero positivo n, l'insieme di tutti i divisori positivi di n diventa un insieme parzialmente ordinato se usiamo la divisibilità come relazione d'ordine. Questo insieme parzialmente ordinato è sempre un reticolo distributivo. Si tratta di un'algebra di Boole se e solo se n è libero da quadrati.
Dato un intero positivo n, si definisce il radicale dell'intero n come:
- m = rad(n),
uguale al prodotto dei numeri primi p che dividono n. I numeri n liberi da quadrati sono quindi le soluzioni di n = rad(n).
[modifica] Distribuzione dei numeri liberi da quadrati
Se Q(x) indica il numero di interi liberi da quadrati fra 1 ed x, allora:
(vedi pi greco e notazione O grande). La densità naturale asintotica dei numeri liberi da quadrati è perciò:
dove ζ è la funzione zeta di Riemann.
Similmente, se Q(x,n) indica il numero di interi liberi da n-esime potenze fra 1 ed x, si può mostrare che:
