Metodo di integrazione

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La regola di sostituzione e l'integrazione per parti sono i due metodi alla base di varie tecniche di calcolo integrale, presentando utili varianti e generalizzazioni.

Indice

1 Integrazione per parti
2 Regola di sostituzione
- 2.1 Integrali indefiniti
3 Regola di sostituzione per variabili multiple
4 Esempi
5 Integrazione numerica e simbolica

[modifica] Integrazione per parti

L'integrazione per parti è un metodo per trasformare l'integrale del prodotto di due funzioni in un integrale più semplice. Dette f(x) e g(x) le due funzioni allora

Se f(x) e g(x) sono funzioni derivabili su un intervallo I, e se la funzione f'(x)g(x) è integrabile su I, allora lo è anche la funzione f(x)g'(x) e si ha:

$\int_{}^{}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int_{}^{}f'(x)g(x)dx$

[modifica] Regola di sostituzione

Nel calcolo infinitesimale la regola di sostituzione costituisce un importante strumento per la determinazione di integrali indefiniti e di integrali definiti. Essa è equivalente alla regola di derivazione della composizione di funzioni.

Supponiamo che f(x) sia una funzione integrabile, e φ(t) una funzione differenziabile con continuità definita sull'intervallo [a, b] e la cui immagine è contenuta nel dominio di f. Allora

$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} dx\, f(x) = \int_{a}^{b} dt\, f(\phi(t)) \phi'(t)$

Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazione x = φ(t) comporta dx/dt = φ'(t) e quindi la conseguenza formale dx = φ'(t) dt, che è precisamente la sostituzione richiesta per dx. In effetti la regola di sostituzione può considerarsi come un ottimo sostegno della bontà del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate.

La formula è usata per trasformare l'integrale di una funzione nell'integrale di un'altra nella prospettiva che questo nuovo sia più facile da determinare. La formula può essere utilizzata al fine di semplificare un integrale dato, sia "da sinistra verso destra" che "da destra verso sinistra".

[modifica] Integrali indefiniti

La regola di sostituzione può essere usata anche per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglie una relazione tra x e t, che determina la relazione corrispondente tra i differenziali dx e dt e consente la sostituzione. Se si riesce a determinare il nuovo integrale indefinito, occorre successivamente effettuare la sostituzione opposta.

[modifica] Regola di sostituzione per variabili multiple

Si può anche usare la sostituzione quando si integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione sostituzione (v₁,...,v_n) = φ(u₁,...,u_n) deve essere uno a uno e differenziabile con continuità, e i differenziali si trasformano secondo la formula

$dv_1\cdots dv_n = |\det(\operatorname{D}\phi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n$

dove det(Dφ) denota il determinante della matrice jacobiana che contiene le derivate parziali di φ. Questa formula esprime il fatto che il valore assoluto del determinante dei vettori dati uguaglia il volume del parallelepipedo formato.

Più precisamente, la formula del cambiamento di variabili è precisata nel seguente enunciato.

Teorema

Siano U, V insiemi aperti in Rⁿ e φ : U → V una funzione differenziabile biiettiva con derivate parziali continue. Allora per ogni funzione con valori reali f su V integrabile

$\int_V d \mathbf{v}\, f(\mathbf{v}) = \int_U d \mathbf{u}\, f(\phi(\mathbf{u})) \left|\det(\operatorname{D}\phi)(\mathbf{u})\right|$

[modifica] Esempi

Consideriamo l' integrale

$\int_{0}^2 dt\, t \cos(t^2+1)$

Usando la sostituzione x = t² + 1, otteniamo dx = 2t dt e quindi

$\int_{0}^2 t dt\, \cos(t^2+1) = \frac{1}{2} \int_{0}^2 dt\, \cos(t^2+1) 2t = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} dx\, \cos(x) = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).$

Qui usiamo la regola di sostituzione "da destra a sinistra". Si noti come il limite inferiore t = 0 viene trasformato in x = 0² + 1 = 1 e il limite superiore t = 2 in x = 2² + 1 = 5.

Per l'integrale

$\int_0^1 dx\, \sqrt{1-x^2}$

occorre usare la formula da sinistra a destra: serve la sostituzione x = sin(t), dx = cos(t) dt, in quanto √(1-sin²(t)) = cos(t):

$\int_0^1 dx\, \sqrt{1-x^2} = \int_0^\frac{\pi}{2} dt\, \sqrt{1-\sin^2(t)} \cos(t) = \int_0^\frac{\pi}{2} dt\, \cos^2(t)\;dt$

L'integrale risultante può essere calcolato effettuando una integrazione per parti.

Riprendendo il primo esempio, si calcola l'integrale indefinito:

$\int t dt\, \cos(t^2+1) = \frac{1}{2} \int dt\, \cos(t^2+1) 2t$

$\qquad = \frac{1}{2} dx\, \int\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(x) + C = \frac{1}{2}\sin(t^2+1) + C.$

Si noti che sono stati sottoposti a trasformazione integrali indefiniti e che nell'ultimo passo abbiamo invertito la sostituzione originale x = t² + 1.

[modifica] Integrazione numerica e simbolica

Quelli finora esposti sono metodi di integrazione analitici: tuttavia, a volte, per problemi specifici può capitare di non riuscire ad applicarli. In tale circostanza si può ricorrere a metodi di aprossimazione numerica o a software di calcolo simbolico (vd. anche i metodi di algebra computazionale). Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio: si veda la loro sintassi proposta per alcune note piattaforme di calcolo.

Analisi matematica