Successione (matematica)

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In matematica una successione è una sequenza infinita di oggetti che possono essere numerati; questi sono chiamati termini della successione; alcuni termini di una successione possono coincidere (anche tutti).

Le successioni più semplici sono costituite da numeri reali o complessi: si parla allora di successioni numeriche. Si possono anche considerare successioni di oggetti più sofisticati come funzioni (come la successione dei polinomi xⁿ per tutti i naturali n), matrici (le matrici identità di dimensione $n \times n$ ), figure geometriche (poligoni regolari, piramidi regolari), di strutture (gruppi ciclici di ordini successivi , spazi vettoriali Rⁿ).

[modifica] Definizione formale

Formalmente una successione $φ$ in $S$ è un'applicazione da N a un insieme $S$ non vuoto:

$\phi:\mathbb{N}\to S$

Viene chiamata successione anche una funzione da un insieme numerabile $I$ . La numerabilità garantisce l'esistenza di una corrispondenza biunivoca $\psi, \psi:N\to I$ con N, e quindi la funzione composta $φ(ψ)$ è una successione nel senso della definizione precedente.

Per esempio in certe circostanze può essere più comodo considerare successioni con i termini indicizzati con i numeri positivi, cioè funzioni da N₊ in S.

Possono avere grande interesse anche le funzioni da Z (l'insieme dei numeri interi relativi) in un certo S. Questi oggetti vengono indicati con notazioni del tipo

... , a_-m, ..., a_-1,a₀,a₁, ... a_n, ...

e vengono chiamati successioni bilatere. Si possono poi considerare successioni a 2 indici; queste si possono considerare matrici infinite; possono essere utili anche successioni a 3 o più indici e si può anche considerare l'insieme delle successioni con un numero intero qualsiasi di indici.

Comunemente viene chiamata successione non solo la funzione $φ$ , ma anche l'insieme delle immagini $\!\,\{\phi_n\}_n$ . A volte viene specificato in che insieme varia $n$ : $\!\,\{\phi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\!\,\{\phi_n\}_{n>0}$ .

[modifica] Notazioni

È ovviamente impossibile indicare tutti i termini di una successione, come invece in linea di principio può farsi per tutte le sequenze finite. Una successione viene quindi presentata da una scrittura costituita dai suoi primi termini, seguiti da puntini sospensivi

a₀, a₁, a₂, ...

oppure da una scrittura del tipo

a₀, a₁, ..., a_n, ...

Si può ad es. considerare la successione degli interi naturali indicandola

0, 1, 2, 3, 4, ...

oppure con

0, 1, 2, ..., n, ...

La prima notazione può essere sufficiente, in quanto tutti i lettori sono in grado di individuarne il significato. La seconda, oltre ad individuare la successione, serve a segnalare che si intende usare la lettera n per denotare il termine generico della successione, cioè il generico intero naturale.

È essenziale stabilire il grado di conoscenze che si posseggono su una successione. Se sappiamo che tutti i termini di una successione appartengono ad un insieme S si parla di successione in S. Una distinzione molto importante riguarda il tipo di conoscenza riguardante il generico termine n-esimo. Nel caso più vantaggioso di a_n si conosce una semplice espressione, come per la

$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \ldots , \frac{1}{n(n+1)}, \ldots ~.$

In altri casi si conosce un modo per calcolare il termine n-esimo, ma non una sua forma chiusa, cioè una espressione abbastanza semplice: questo è il caso di molte successioni di natura combinatoria come la successione dei numeri di Fibonacci, quella dei numeri di Bernoulli, quella dei numeri primi, quella delle cifre decimali o binarie esprimenti π; in questi casi è importante la complessità dei calcoli che possono portare ad una valutazione del termine n-esimo. Vi sono poi sequenze che non sappiamo neppure se sono finite o infinite: si conoscono i primi termini, si conosce qualche procedimento per cercare successivi termini (in genere molto oneroso) ma non si sa se questi esistono, cioè se si riescono a trovare altri termini.

Una successione $a n$ si dirà:
limitata inferiormente se esiste un numero m tale che $a_n \geq m, \ \forall n \in \N$
limitata superiormente se esiste un numero M tale che $a_n \leq M, \ \forall n \in \N$
limitata se esistono due numeri m e M tali che $m \leq a_n \leq M, \ \forall n \in \N$

[modifica] Esempi

$S=N \quad \phi(n)=n^2 \quad \{\phi(n)\}_n=\{0,1,4,9,16,\ldots \}$
$S=C \quad \phi(n)=i^n \quad \{\phi(n)\}_n=\{1,i,-1,-i,\ldots \}$
$S=R \quad \phi(n)=\frac{1}{n-1}\quad \{\phi(n)\}_{n\geq 2 }=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots \}$
$S=R \quad \phi_g(n)=q^n \quad \{\phi_h(n)\}_n=\{1,q,q^2,\ldots \}$
$S=R \quad \phi(n)=\sum_{i=0}^n \phi_g(n) \quad \{\phi(n)\}=\{1,1+q,1+q+q^2,\ldots \}$

l'ultima è la successione delle somme parziali, in particolare di una somma parziale geometrica.

[modifica] Successioni monotone

Una successione ${a n} n$ si dice:

monotona strettamente crescente se $a_n < a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona crescente se $a_n \leq a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona strettamente decrescente se $a_n > a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
monotona decrescente se $a_n \geq a_{n+1}, \ \forall n \in \N$
costante se è contemporaneamente crescente e decrescente, ovvero $a_n = a, \ \forall n \in \N, \ a \in S$

[modifica] Esempi

Per esempio la successione ${n 2} n$ è monotona strettamente crescente, la successione $\left\{ \frac{1}{n}\right\}_{n\geq 1}$ è monotona strettamente decrescente (si premette che la definizione di monotona è quella di essere strettamente crescente o decrescente).