Modello di Solow

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Nell'ambito della teoria economica della crescita, il modello di Solow, o modello neoclassico della crescita, prende il nome dal Premio Nobel Robert Solow, che lo sviluppò in un noto lavoro del 1956. Il modello studia la crescita economica di un paese nel lungo periodo.

Indice

1 Le ipotesi del modello
2 Rappresentazione del modello
- 2.1 Modello di Solow senza progresso tecnico con variabili aggregate
- 2.2 Modello di Solow senza progresso tecnico considerando l'output per addetto
3 Riferimenti bibliografici

[modifica] Le ipotesi del modello

Due fattori di produzione: lavoro e capitale.
Presenza di una funzione di produzione e una funzione di accumulazione del capitale
Funzione di produzione con rendimenti di scala costanti e rendimenti decrescenti dei singoli fattori (esempio: Cobb-Douglas).
Presenza del progresso tecnico come variabile esogena (il progresso tecnico non è spiegato: è "manna dal cielo").
Concorrenza perfetta e massimizzazione dei profitti.
Uguaglianza tra risparmi e investimenti (cioe` e` un'economia chiusa)

[modifica] Rappresentazione del modello

[modifica] Modello di Solow senza progresso tecnico con variabili aggregate

La rappresentazione più semplice del modello di Solow è quella in cui il progresso tecnico non esiste e lo stato della tecnologia rimane costante.

La funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas suppone che per produrre una determinata quantità di output serva una particolare combinazione dei due fattori produttivi lavoro e capitale.

$Y = K^\alpha L^{1-\alpha} \,\!$

$Y$ = Prodotto o output
$K$ = Capitale
$L$ = Lavoro
$α$ = Costante il cui valore va da 0 a 1

La funzione di accumulazione del capitale suppone che il capitale sia pari a quello del periodo precedente, più la quantità di risparmi (poiché i risparmi vengono impiegati interamente negli investimenti) meno il deprezzamento del capitale, ossia quella parte del capitale che diventa obsoleta e va perciò rinnovata.

$K_t = K_{t-1} + sY - dK \,\!$

$K$ = capitale
$t$ = tempo
$s$ = propensione al risparmio (la percentuale di reddito non destinata ai consumi)
$d$ = tasso di deprezzamento del capitale

Quindi la variazione di capitale da un periodo all'altro è data da:

$K_t - K_{t-1} = \Delta K = sY - dK \,\!$

Supponiamo che, a causa di un alta propensione al risparmio, gli investimenti siano maggiori del deprezzamento del capitale; si avrà quindi un aumento del capitale da un periodo all'altro. Secondo la funzione di produzione, l'aumento di capitale comporta un aumento del reddito Y. Tuttavia, se supponiamo che la quantità di lavoro resti invariata, a causa dei rendimenti decrescenti dei fattori tale reddito Y crescerà ad una quota pari a:

$\Delta Y = \Delta K^\alpha L^{1-\alpha} \,\!$

Dato che 0 ≤ α ≤ 1 , $\Delta Y < \Delta K^\alpha \,\!$

Questo significa che prima o poi dK, che, come abbiamo visto, cresce più velocemente, raggiungerà il livello dei risparmi sY, in modo tale che:

$\Delta K = sY - dK = 0 \,\!$

Questa situazione, che viene chiamata di stato stazionario, è un equilibrio di lungo periodo.

In conclusione:

Nel breve periodo il reddito Y e il capitale K possono aumentare o diminuire a seconda che i risparmi sY siano maggiori o minori del deprezzamento del capitale dK.
Nel lungo periodo si arriva in una situazione di stato stazionario, dove i risparmi sono pari al deprezzamento del capitale e dove reddito e capitale non crescono.
Una variazione della propensione al risparmio s o del tasso di deprezzamento del capitale d avrà effetti positivi o negativi sui livelli aggregati di capitale e di reddito esclusivamente nel breve periodo.
Non è possibile quindi avere in questa situazione una crescita costante e continua del capitale e del reddito.

[modifica] Modello di Solow senza progresso tecnico considerando l'output per addetto

Ciò che interessa di più del modello di Solow è la rappresentazione delle sue variabili in termini di valori per addetto: più che il reddito e il capitale aggregato di un paese, ci interessa sapere quanto reddito è generato e quanto capitale è a disposizione di una singola persona. L'output per addetto si esprime con la formula Y/L=y (indichiamo con le lettere minuscole y e k rispettivamente reddito e capitale per lavoratore. Riprendendo la funzione di produzione precedente, otterremo:
$\frac{Y}{L} = \frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L} \,\!$
Semplificando, otterremo: $\frac{Y}{L} = \frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L^\alpha L^{1-\alpha}} \,\!$ , cioè $y = k^\alpha \,\!$

Per quanto riguarda la funzione di accumulazione del capitale, utilizziamo uno stratagemma matematico e prendiamo il logaritmo dell'equazione del capitale per addetto k = K/L:
$k = \frac{K}{L} \Longrightarrow \; \ \log \Delta K = \ \log K - \ \log L \Longrightarrow \; \frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta K}{K} - \frac{\Delta L}{L} \,\!$
Abbiamo scoperto che il tasso di crescita del capitale per addetto (Δk/k) è dato dal tasso di crescita del capitale a livello aggregato (ΔK/K) meno il tasso di crescita della popolazione lavorativa o della popolazione nel suo complesso in caso di piena occupazione (ΔL/L, rappresentato con la lettera n).

Se vogliamo esprimere la funzione di accumulazione del capitale in termini di tasso di crescita del capitale per addetto (Δk/k) basta fare:

$\Delta K = sY - dK \Longrightarrow \; \frac{\Delta K}{K} - \frac{\Delta L}{L} = \frac{sY}{K} - \frac{dK}{K} - \frac{\Delta L}{L} \Longrightarrow \; \frac{\Delta k}{k} = \frac{sY}{K} - d - n \,\!$
$\Longrightarrow \;\frac{\Delta k}{k} = \frac{sYL}{KL} - d - n = \frac{sy}{k} - d - n \,\!$

Se voglio trasformare tale funzione in termini di capitale per addetto, basta moltiplicare per k e otterremo:
$\Delta k = sy - (n + d) k \,\!$

Il significato economico della funzione è che la variazione del capitale per addetto è correlata positivamente con il tasso di risparmio ed il reddito (più risparmi significano più investimenti), mentre è correlata negativamente con la crescita della popolazione (se la popolazione cresce, dovrò dare a ciascun nuovo lavoratore una quantità di capitale k aggiuntiva) il tasso di deprezzamento e il livello di capitale per addetto.