Proporzionalità quadratica
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Si ha una proporzionalità quadratica tra due grandezze x e y quando la grandezza variabile y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza x, ovvero se le due grandezze sono collegate da una relazione funzionale della forma:
- y = kx2.
In termini elementari si può dire che
- quando x raddoppia, y diventa quattro volte più grande;
- quando x triplica, y diventa nove volte più grande;
- più in generale quando x viene moltiplicata per n volte, y diventa n2 volte maggiore
Il grafico cartesiano che da' l'andamento di una variabile dipendente y direttamente proporzionale al quadrato di una variabile dipendente x è la metà di una parabola con la concavità volta verso l'alto.
In geometria si trovano moltissimi esempi di questa relazione tra grandezze. L'area di un quadrato cresce proporzionalmente al quadrato del suo lato. L'area di un cerchio è proporzionale al quadrato del suo raggio. L'area di un poligono regolare cresce come il quadrato di un suo lato o della sua apotema. La superficie di un cubo o anche di poliedro regolare cresce come il quadrato del suo lato. La superficie di una sfera è proporzionale al quadrato del suo raggio.
Altri esempi si trovano in fisica. Lo spazio percorso da un grave sottoposto ad una forza gravitazionale risulta proporzionale al quadrato del tempo di caduta.
A fenomeni retti da una legge di proporzionalità quadratica si associano fenomeni retti da una legge di proporzionalità inversa del quadrato. Ad esempio al fatto che la superficie di una sfera sia proporzionale al quadrato del suo raggio si collegano, per il teorema di Gauss, il fatto che la forza di attrazione gravitazionale tra due corpi di date masse sia inversamente proporzionale al quadrato della reciproca distanza e il fatto che tra due corpi elettricamente carichi si eserciti una forza attrattiva o repulsiva proporzionale al quadrato della reciproca distanza. In questi due casi si parla di forza coulombiana.
