Cubo

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In geometria il cubo o esaedro regolare è un solido platonico che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli; in ogni vertice si incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a due a due ortogonali; questo si accorda con il fatto che il poliedro duale del cubo è l'ottaedro, che presenta 8 facce triangolari, 6 vertici e 12 spigoli.

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo regolare, ed è un caso particolare di prisma quadrato e di trapezoedro.

Ogni cubo è caratterizzato dalla lunghezza a dei suoi spigoli. Tutti i cubi con gli spigoli della stessa lunghezza sono congruenti. Un cubo con gli spigoli di lunghezza a sottoposto ad una omotetia di fattore b/a diventa congruente con ogni cubo con gli spigoli di lunghezza b.

[modifica] Il cubo in geometria analitica

Molte proprietà del cubo sono ottenibili facilmente con strumenti della geometria analitica. Consideriamo cubi riferiti a una terna di riferimento cartesiana ortogonale, rispetto alla quale il punto variabile dello spazio sia individuato dalla terna $(x 1, x 2, x 3)$ .

Un primo cubo che può essere utile considerare è il cubo centrato nell'origine avente i vertici nei punti dati dalle terne riconducibili alla forma (±1,±1,±1); l'insieme dei suoi punti interni è esprimibile come

$\{(x_1,x_2,x_3) \;|\; i=1,2,3 \;:\; -1<x_i<1\}$

Un altro cubo che può risultare maneggevole è quello i cui vertici sono dati da terne binarie

$(b_1,b_2,b_3)\quad \mbox{con} \quad b_i=0,1 \quad \mbox{per}\quad i=1,2,3$

Questo ha come centro $(1 / 2,1 / 2,1 / 2)$ .

[modifica] Parametri metrici

I parametri metrici del cubo con spigoli di lunghezza a sono i seguenti

Lunghezza delle diagonali delle facce	$\,\sqrt{2}\cdot a\,$
Lunghezza delle diagonali del cubo (segmenti che congiungono vertici opposti)	$\,\sqrt{3}\cdot a\,$
Distanza tra il centro e una faccia	$\,a/2\,$
Area della superficie totale	$\,6a^2\,$
Volume	$\,a^3\,$

[modifica] Rapporto volume/superficie

Sviluppo del cubo

Si nota che la costruzione di un cubo materiale utilizzando carta, cartone, fogli di metallo o altro per le 6 facce, ammesso che non si abbia alcuno spreco di materiale, porta al parallelepipedo con il maggiore rapporto fra volume e superficie totale.

La dimostrazione di questa proprietà di ottimalità richiede il calcolo infinitesimale.

Un analogo oggetto materiale costruito con facce rettangolari non tutte quadrate presenta un rapporto tra volume e superficie totale inferiore.

[modifica] Tetraedri, cubi e dodecaedri

In un cubo può essere inscritto un tetraedro i cui vertici sono una parte dei vertici del cubo stesso. Per questo prendiamo in considerazione il cubo con i vertici dati dalla terne binarie. Si osserva che i vertici si possono bipartire tra vertici con la somma delle coordinate pari

(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

e vertici con la somma delle coordinate dispari

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)

I primi quattro si possono chiamare vertici pari, i rimanenti quattro vertici dispari.

Si nota che ogni coppia di vertici pari e ogni coppia di vertici dispari individua la diagonale di una faccia.

I quattro vertici pari individuano 6 diagonali; stessa cosa i quattro vertici dispari. Ciascuna delle 4 terne di vertici pari individua un triangolo equilatero nello spazio; stessa cosa per i vertici dispari. Risulta quindi chiaro che i vertici pari costituiscono i vertici di un tetraedro inscritto nel cubo e che lo stesso fanno i vertici dispari.

Stanza di cubi a Expo 67

In modo analogo si vede che in un dodecaedro si possono inscrivere 5 cubi ciascuno dei quali ha gli spigoli che sono diametri di una faccia pentagonale del dodecaedro. Si osserva infatti che il dodecaedro ha 12 facce e che ogni faccia ha 5 diametri per un totale di 60 diametri superficiali, tutti della stessa lunghezza. Questi diametri si possono ripartire in 5 classi di 12 diametri ciascuna: i cinque diametri di una faccia sono assegnati a classi diverse e ogni classe è formata da diametri provenienti dalle 12 diverse facce.

Ciascuna di queste classi costituisce l'insieme degli spigoli di un cubo inscritto nel dodecaedro. Se si considera l'unione dei cinque cubi che si possono ottenere in questo modo da un dodecaedro dato, si ottiene un poliedro composto regolare.

Il cubo è il solo tra i solidi platonici che, con sue repliche, è in grado di riempire lo spazio con regolarità (tassellazione dello spazio). Godono della stessa proprietà anche i due solidi semiregolari, della stessa famiglia del cubo, il prisma triangolare regolare ed il prisma esagonale regolare, nonché il solido archimedeo detto dodecaedro rombico.

I dadi da gioco sono dei cubi.

[modifica] Altro

I comuni dadi da gioco a sei facce hanno forma cubica.

Costruendo un modello materiale di cubo che ha ogni spigolo costituito da un resistore da 1 ohm, la resistenza tra due vertici adiacenti è di 7/12 Ω, quella tra due vertici opposti di 5/6 Ω.

L'ipercubo o cubo $n$ -dimensionale è una generalizzazione del cubo in dimensione $n$ arbitraria.