Regola di Ruffini

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In matematica, la regola di Ruffini permette la divisione veloce di un qualunque polinomio per un binomio della forma x − a. È stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809. La regola di Ruffini è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

[modifica] L'algoritmo

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

per il binomio

$A(x)=x-r\,\!$

per ottenere il polinomio quoziente

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

e un resto R che è zero o un termine costante, visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di P(x) per A(x) scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere P(x) per A(x), infatti:

1. Si prendano i coefficienti di P(x) e li si scrivano in ordine. Si scriva quindi r in basso a sinistra, proprio sopra la riga:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Si copi il coefficiente di sinistra (a_n) in basso, subito sotto la riga:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n                     
    |
    |      = b_n-1                                
    |

3. Si moltiplichi il numero più a destra di quelli sotto la riga per r, e lo si scriva sopra la riga, spostato di un posto a destra:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n
    |
    |      = b_n-1                                
    |

4. Si sommi questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2                                
    |

5. Si ripetano i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r       ...        b₁r        b₀r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)   ...       a₁+b₁r       a₀+b₀r
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2       ...       = b₀        = R
    |

I valori b sono i coefficienti del polinomio risultante (Q(x)), il cui grado sarà inferiore di uno a quello di P(x). R è il resto.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

[modifica] Usi della regola

La regola di Ruffini ha molte applicazioni pratiche; molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

[modifica] Divisione polinomiale per x − r

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

P (x) = 2 x 3 + 3 x 2 - 4

A (x) = x + 1

Vogliamo dividere P(x) per A(x) usando la regola di Ruffini. Il primo problema è che A(x) non è della forma x − r, ma piuttosto x + r. Questo è facile da risolvere: basta riscrivere A(x) come

$A(x)=x+1=x-(-1)\,\!$

Applichiamo ora l'algoritmo.

1. Scriviamo i coefficienti di P(x) e r. Notiamo che dobbiamo usare uno zero per il coefficiente di x in P(x):

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |                                    
    |

2. Copiamo il primo coefficiente sotto:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |     2                              
    |

3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga per r:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |          -2                         
----|----------------------------
    |     2                              
    |

4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:

    |     2     3     0     -4
    |
 -1 |          -2
----|----------------------------
    |     2     1
    |

5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:

    |     2     3     0     -4
    |
 -1 |          -2    -1      1
----|----------------------------
    |     2     1    -1 |   -3
    |    {coefficienti} | {resto}

Insomma, abbiamo che

P (x) = A (x) * Q (x) + R

, dove

Q (x) = 2 x 2 + x - 1

R = - 3

[modifica] Divisione polinomiale per ax − k

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado $A (x) = a x - k$ . Infatti, considerando la relazione fondamentale

$P(x)=(ax -k) \cdot Q(x) + R(x)$

dividendo tutto per a (sicuramente diverso da 0) otteniamo

$\frac{P(x)}{a}=\frac{(ax -k) \cdot Q(x)}{a} + \frac{R(x)}{a}$

Detti $P (x) / a = P'(x)$ e $R (x) / a = R'(x)$ otteniamo

$P'(x)=(x -\frac{k}{a}) \cdot Q(x) + R'(x)$

Dunque il quoziente richiesto $Q (x)$ è anche il quoziente della divisione di $P'(x)$ per $(x - k / a)$ , che si può fare con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto $R (x)$ basterà moltiplicare il resto ottenuto $R'(x)$ per $k$ .

[modifica] Trovare le radici di un polinomio

Il Teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ ha coefficienti (da a_n sino ad a₀) interi, le sue radici razionali reali sono sempre della forma p/q, dove p è un divisore intero (non necessariamente positivo, quindi) di a₀ e q un divisore intero di a_n. Se il nostro polinomio è quindi

$P(x)=x^3-4x^2+5x-2=0\,\!$ ,

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di a₀ (−2):

$\mbox{radici possibili:}\left\{+1, -1, +2, -2\right\}$

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, a_n=1); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che a_n e a₀ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per $a n$ .

Provando pertanto a porre r pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per (x-r). Se il polinomio quoziente risultante non ha resto, abbiamo trovato una radice.

Si può scegliere uno dei due metodi seguenti: essi danno gli stessi risultati, con l'eccezione che solo il secondo permette di trovare se una radice è ripetuta. (Ricordate che nessuno dei due metodi permette di scoprire radici irrazionali o complesse).

[modifica] Primo metodo

Cerchiamo di dividere P(x) per il binomio (x − ciascuna possibile radice). Se il resto è 0, il numero utilizzato è una radice (e viceversa):

    |    +1    -4    +5     -2                      |    +1    -4    +5    -2
    |                                               |
 +1 |          +1    -3     +2                   -1 |          -1    +5    -10
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    -3    +2      0                      |    +1    -5    +10    -12

    |    +1    -4    +5     -2                      |    +1    -4    +5    -2
    |                                               |
 +2 |          +2    -4     +2                   -2 |          -2    +12   -34
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    -2    +1      0                      |    +1     -6    +17   -36

$x 1 = + 1$ , $x 3 = + 2$ sono radici, mentre $x 2 = - 1$ e $x 4 = - 2$ non lo sono.

[modifica] Secondo metodo

Iniziamo come nel primo metodo fino a che troviamo una radice. A questo punto, invece che ripartire con le altre radici possibili, si continua a fare il test a partire dal polinomio quoziente ottenuto ripartendo dalla radice appena trovata, per vedere se ci sono radici multiple:

    |    +1    -4    +5    -2                      |    +1    -4    +5    -2
    |                                              |
 +1 |          +1    -3    +2                   +2 |          +2    -4    +2
----|---------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    -3    +2   | 0                      |    +1    -2    +1   | 0
    |                     |                        |                     |
 +1 |          +1    -2   |                     +2 |          +2    +2   |
----|---------------------|                    --------------------------|
    |    +1    -2     0                            |    +1     0    +3

$x 1 = + 1$ è una radice multipla, mentre $x 3 = + 2$ è una radice semplice.

[modifica] Fattorizzazione polinomiale

Dopo avere usato il metodo "p/q" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore lineare (x - r) che divide un polinomio dato corrisponde una radice r, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\!$ e abbiamo trovato come sue radici

$R=\left\{\mbox{radici di }P(x)\in\mathbb{Q}\right\}\,\!$ consideriamo il prodotto

$Q(x)=a_n{\prod_{r\in R} (x-r)}\,\!$ .

Per il Teorema fondamentale dell'algebra, Q(x) sarebbe uguale a P(x) se tutte le radici di P(x) fossero razionali. Ma è assai probabile che Q(x) non sia uguale a P(x), dato che P(x) potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

$S(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\,\!$ .

Se S(x) = 1, allora Q(x) = P(x). Altrimenti, S(x) sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di P(x) che non ha radici razionali in $\mathbb{R}$ . Dunque

$P(x)=Q(x) * S(x)\,\!$

è una fattorizzazione completa di P(x) su $\mathbb{Q}$ se S(x) = 1, altrimenti sarà una fattorizzazione completa su $\mathbb{Q}$ , ma ci saranno altri fattori su $\mathbb{R}$ o su $\mathbb{C}$ .