Scattering Bhabha

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Nella fisica delle particelle si indica con scattering Bhabha il processo di diffusione elastica

$\mathrm{e}^{+}\mathrm{e}^{-}\, \to\, \mathrm{e}^{+}\mathrm{e}^{-}$ .

Deve il proprio nome al fisico indiano Homi J. Bhabha, che per primo lo studiò (Bhabha, H. J., Proc. Roy. Soc. Lond.: A152, 1935).

[modifica] Sezione d'urto

I diagrammi di Feynman che contribuiscono allo scattering Bhabha sono due: uno di annichilazione (detto anche di canale $s$ ) e uno di diffusione coulombiana (detto anche di canale $t$ ):

L'elemento di matrice è dato, dunque, dalla somma degli elementi di matrice dei singoli diagrammi. Applicando le regole di Feynman si arriva a calcolare la sezione d'urto differenziale nell'angolo (solido) di diffusione, in approssimazione di Born:

$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\alpha^{2}}{8E^{2}}\left (\frac{t^{2}+u^{2}}{s^{2}}+\frac{u^{2}+s^{2}}{t^{2}}+2\frac{u^{2}}{ts}\right )\,$ ,

dove $α$ è la costante d'accoppiamento dell'elettrodinamica quantistica, $E$ l'energia nel centro di massa e $s$ , $t$ , $u$ sono gli invarianti cinematici di Mandelstam. Fissando, ora, la cinematica tipica

$\left \{\begin{matrix}p_{1}=\left (E,\, 0,\, 0,\, E\right )\\p_{2}=\left (E,\, 0,\, 0,\, -E\right )\\q_{1}=\left (E,\, 0,\, E\sin\vartheta,\, E\cos\vartheta\right )\\q_{2}=\left(E,\, 0,\, -E\sin\vartheta,\, -E\cos\vartheta\right )\end{matrix}\right.\,$ ,

dove $p 1$ e $p 2$ ( $q 1$ e $q 2$ ) sono rispettivamente i quadri-momenti del positrone e dell'elettrone di stato iniziale (finale), si ottiene:

$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\alpha^{2}}{8E^{2}}\left (\frac{1+\cos^{2}\vartheta}{2}+\frac{1+\cos^{4}\frac{\vartheta}{2}}{\sin^{4}\frac{\vartheta}{2}}-\frac{2\cos^{4}\frac{\vartheta}{2}}{\sin^{4}\frac{\vartheta}{2}}\right )\,$ .

È possibile osservare che la sezione d'urto differenziale diverge per piccoli angoli di diffusione $\vartheta$ . La sezione d'urto integrata, invece, mostra un tipico andamente decrescente all'aumentare dell'energia nel centro di massa.

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