Funkcje trygonometryczne

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina, obraz, przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu - Γ - Β (beta) η - W Lamberta - Bessela - ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa - φ - π - λ

Własności

przebieg zmienności:
parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność

ciągłość - różniczkowalność - całkowalność

W matematyce funkcje trygonometryczne to funkcje kąta; znajdują zastosowanie m.in. przy badaniu trójkątów oraz przy modelowaniu zjawisk okresowych. Dział matematyki zajmujący się nimi to trygonometria.

Funkcje trygonometryczne można definiować na wiele sposobów. Zwykle są definiowane jako stosunki dwóch boków trójkąta prostokątnego. Równoważnie można je zdefiniować jako długości pewnych odcinków w kole trygonometrycznym (o promieniu 1). W analizie matematycznej definicja geometryczna jest niewygodna. Zamiast tego korzysta się z rozwinięcia w szereg potęgowy lub definiuje się te funkcje jako rozwiązania szczególne pewnych równań różniczkowych. Takie definicje rozszerzają dziedzinę funkcji trygonometrycznych na dowolne liczby rzeczywiste, a nawet takie obiekty jak liczby zespolone, kwaterniony, macierze, elementy pierścieni nilpotentnych. Wszystkie te aspekty są przestawione poniżej.

Do funkcji trygonometrycznych zalicza się:

sinus - oznaczany sin (stosunek prostej przeciwległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej)
cosinus (lub kosinus) - oznaczany cos (stosunek prostej przyległej do kąta ostrego i przeciwprostokątnej)
tangens - oznaczany tg (tan w krajach anglojęzycznych) (stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta ostrego i przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego)
cotangens (kotangens) - oznaczany ctg (lub też cot, cotan) (stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i przyprostokątnej naprzeciwległej kąta ostrego)
secans (sekans) - oznaczany sec
cosecans (kosekans) - oznaczany cosec (lub csc)

Najważniejsze znaczenie mają sinus i cosinus. Secans i cosecans są obecnie bardzo rzadko spotykane. Funkcję sec wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele "De revolutionibus orbium coelestium".

Dawniej używano paru innych funkcji takich jak sinus versus ( $\operatorname{sinvers} x=1-\cos x$ ) czy też haversin (ang. half of the versine $\operatorname{haversin} x = \operatorname{sinvers} x / 2$ ). Obecnie jednak są bardzo rzadko spotykane.

Zwykle przy pisaniu wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi pomija się nawiasy - np. zamiast $sin(x)$ pisze się $sin x$ , zamiast $sin(2 x)$ pisze się $sin2 x$ . Stosowanie nawiastów jest wymagane przy sumie - wyrażenie $sin x + y$ oznacza $(sin x) + y$ i jest różne od wyrażenia $sin(x + y)$ .

Funkcja	Oznaczenie	Zależność
Sinus	sin	$\sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$
Cosinus	cos	$\cos \alpha = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right)\,$
Tangens	tg (lub tan)	$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$
Cotangens	ctg (lub cot, cotan)	$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$
Secans	sec	$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$
Cosecans	cosec (lub csc)	$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

Spis treści

1 Definicja geometryczna
2 Własności funkcji dla liczb rzeczywistych
3 Wykresy funkcji trygonometrycznych
4 Tożsamości trygonometryczne
5 Definicja analityczna
6 Rozwinięcia w iloczyny nieskończone
7 Własności analityczne
- 7.1 Pochodne
- 7.2 Całki
8 Definiowanie za pomocą równań różniczkowych
9 Definiowanie za pomocą równań funkcyjnych
10 Obliczanie numeryczne
11 Zastosowanie
12 Zobacz też

[edytuj] Definicja geometryczna

Jeżeli płaski kąt skierowany ustali się tak, że jego wierzchołek znajduje się w początku O prostokątnego układu współrzędnych i pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu O, to kąt, jaki zakreśla drugie ramię przez obrót w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, jest kątem dodatnim. Kąt przeciwny do kąta dodatniego jest kątem ujemnym.

Niech $M = (a, b)$ będzie różnym od O punktem należącym do drugiego ramienia kąta skierowanego α. Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego α są określone wzorami:

$\sin \alpha =\frac{b}{r}$
$\cos \alpha =\frac{a}{r}$
$\operatorname{tg}\, \alpha =\frac{b}{a}$
$\operatorname{ctg}\, \alpha =\frac{a}{b}$
$\sec \alpha =\frac{r}{a}$
$\csc \alpha =\frac{r}{b}$

gdzie r = |OM|.

Należy zauważyć, że stosunki te nie zmieniają się, więc punkt M może być dowolnym punktem znajdującym się na ramieniu α (wynika to z twierdzenia Talesa).

Jeżeli punkt M dobierzemy w jednostkowej odległości od początku układu $r = 1$ , to jest na okręgu jednostkowym, to wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wyrażać się będą wprost przez długości odpowiednich odcinków:

Dla kątów większych od kąta prostego oraz dla kątów o mierze ujemnej definicję powyższą uogólnia się, przyjmując ujemną miarę odpowiednich odcinków.

[edytuj] Własności funkcji dla liczb rzeczywistych

Używając funkcji kąta skierowanego, definicję można przenieść na liczby rzeczywiste:

Jeśli dla pewnej liczby całkowitej $k$ liczba $x-2k \pi\,$ jest miarą łukową kąta skierowanego $\alpha\,$ , to $\sin x = \sin \alpha\,$ , $\cos x = \cos \alpha\,$ , $\operatorname{tg}\,x = \operatorname{tg}\, \alpha$ , $\operatorname{ctg}\, x = \operatorname{ctg}\, \alpha\,$ , $\sec x=\sec \alpha\,$ , $\csc x = \csc \alpha\,$ .

Argumentami tak określonych funkcji są liczby rzeczywiste. Korzystanie z miary łukowej bardzo upraszcza wiele równości i jest niemal niezbędne w analizie matematycznej.

Funkcje sinus i cosinus są ograniczone, z dołu liczbą -1, z góry liczbą 1. Natomiast tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości większe bądź równe 1 oraz mniejsze bądź równe -1.

Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans są parzyste.

Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba $2π$ a tangensa i cotangensa $π$ .

Funkcje trygonometryczne są ciągłe w swojej dziedzinie. Zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi. $sin x$ oraz $cos x$ są liczbami przestępnymi dla każdego algebraicznego $x$ różnego od 0.

Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Jeśli natomiast ograniczymy zakres argumentów funkcji do pewnych przedziałów, to funkcje te będą różnowartościowe i będą miały funkcje odwrotne.

Dziedziną sinusa i cosinusa jest zbiór liczb rzeczywistych. Natomiast tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $(2 k - 1)π / 2$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Cotangens zaś w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $k π$ , gdzie k jest liczbą całkowitą.

[edytuj] Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą, funkcji cosinus cosinusoidą, funkcji tangens tangensoidą, a funkcji cotangens cotangensoidą.

Cosinusoida jest rzeczywiście sinusoidą, gdyż jest wykresem funkcji sinus przesuniętym o $π / 2$ .

Sinusoida i cosinusoida:

Sinusoida:

Cosinusoida:

Tangensoida:

Tangensoida

Cotangensoida:

[edytuj] Tożsamości trygonometryczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: tożsamości trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne spełniają wiele związków, tzw. tożsamości trygonometrycznych.

Najważniejszymi związkami pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi są:

równość $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \$ - jedynka trygonometryczna
wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, np. $\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,$
wzory na zamianę sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych na iloczyn, np. $\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \frac {\alpha \mp \beta } 2$
związki między funkcjami a kofunkcjami, np. $\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x)$
zależności pomiędzy odwrotnościami funkcji, np. $\sin x=1 / \csc x\,$

[edytuj] Definicja analityczna

Zachodzą równości:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ . $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n{x^{2n}\over{(2n)!}}$

Używając ich, funkcje trygonometryczne można uogólnić na liczby zespolone, macierze, pierścienie nilpotentne (w ostatnim przypadku szereg ten ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0).

Okazuje się, że tak uogólniony sinus i cosinus (a także pozostałe funkcje trygonometryczne) mają absolutną większość własności, które przysługują liczbom rzeczywistym. Wyjątkiem jest ograniczoność: dla przykładu cosinus argumentu urojonego jest liczbą rzeczywistą zawsze większą od 1.

Uderzające staje się także podobieństwo między funkcjami trygonometrycznymi, hiperbolicznymi i funkcją wykładniczą o podstawie e. Zachodzą równości:

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

[edytuj] Rozwinięcia w iloczyny nieskończone

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

[edytuj] Własności analityczne

[edytuj] Pochodne

Zachodzą równości

$\sin^\prime(x) = \cos x = \sin\left(\frac \pi 2 + x\right)$

$\cos^\prime(x) = - \sin x = \cos\left(\frac \pi 2 + x\right)$

Można je udowodnić np. poprzez różniczkowanie wyraz po wyrazie. Niezwykle ważne jest korzystanie z miary łukowej (radianów). Dla przykładu, wprowadzenie jakiegokolwiek czynnika różnego od 1 powoduje, że czwarta pochodna funkcji sinus nie byłaby równa samej funkcji sinus.

Możemy z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów. Dla sinusa

$\sin^{\prime\prime}(x)=-\sin x = \sin(\pi + x)$

$\sin^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x = \sin\left(\frac {3\pi} 2 + x\right)$

$\sin^{\prime\prime\prime\prime}(x)=\sin x = \sin(2\pi + x)$

Ogólniej, n-ta pochodna:

$\sin^{(n)}(x) = \sin\left(\frac {n\pi} 2 + x\right)$

$\cos^{(n)}(x) = \cos\left(\frac {n\pi} 2 + x\right)$

[edytuj] Całki

Podstawowe całki to:

$\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C,$

$\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C$ .

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R (sin x,cos x)$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie $t = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ .

Całki $\int{\frac{\sin x}{x} dx}$ i $\int{\frac{\cos x}{x} dx}$ są nieelementarne. Ich oznaczone odpowiedniki to sinus całkowy i cosinus całkowy. Analogiczne istnieje także sinus hiperboliczny całkowy i cosinus hiperboliczny całkowy.

Funkcje $sin(x 2)$ i $cos(x 2)$ występują w definicjach całek Fresnela (zobacz: równanie klotoidy).

[edytuj] Definiowanie za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania

$y\,''=-y$

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki y(0) = 0 i y′(0) = 1. Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego y(0) = 1 i y′(0) = 0.

[edytuj] Definiowanie za pomocą równań funkcyjnych

Używając własności funkcji trygonometrycznych jako punktu zwrotnego, można zdefiniować sinus i cosinus nie używając geometrii ani szeregów potęgowych:

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych s, c że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$ :

$s(x)^2 + c(x)^2 = 1,\,$

$s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y),\,$

$c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y),\,$

$0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1.$

[edytuj] Obliczanie numeryczne

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego są ujęte w formie tablic (obecnie wychodzących z użycia), które podają przybliżone wartości funkcji sin, cos, tan i ctg dla kątów od 0° do 90°, gdyż wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego do takich przypadków. Argumenty są podawane z dokładnością do 10 minut kątowych. Dzisiaj używa się kalkulatorów oraz komputerów. Używając odpowiedniego oprogramowania, można obliczyć wartości funkcji tysiące miejsc po przecinku.

Do obliczania wartości używa się rozwinięcia w szereg potęgowy.

[edytuj] Zastosowanie

Najbardziej elementarne użycie funkcji trygonometrycznych pojawia się w geometrii elementarnej do obliczania długości boków lub kątów trójkąta.

[edytuj] Geometria

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Twierdzenie sinusów, Twierdzenie cosinusów, Twierdzenie tangensów.

Przyjmując standardowe oznaczenia w każdym trójkącie zachodzą następujące równości:

${a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma} = 2R$ .

(twierdzenie sinusów)

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosγ

(twiedzenie cosinusów)

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$ .

(twiedzenie tangensów)

[edytuj] Teoria liczb

Wydawałoby się, że trygonometria i teoria liczb są dziedzinami odległymi. Mówiąc w uproszczeniu, teoria liczb zajmuje się bardziej cechami jakościowymi niż ilościowymi liczb. Centralnym zagadnieniem jest podzielność (tak jak: 42 jest podzielne przez 14 a nie przez 15). Spójrzmy na ciąg ułamków

$\frac{1}{42}, \qquad \frac{2}{42}, \qquad \frac{3}{42}, \qquad \dots\dots, \qquad \frac{39}{42}, \qquad \frac{40}{42}, \qquad \frac{41}{42}.$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

$\frac{1}{42}, \qquad \frac{5}{42}, \qquad \frac{11}{42}, \qquad \dots, \qquad \frac{31}{42}, \qquad \frac{37}{42}, \qquad \frac{41}{42}.$

Utwórzmy sumę

$\cos\left(2\pi\cdot\frac{1}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{5}{42}\right)+ \cdots+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{37}{42}\right)+ \cos\left(2\pi\cdot\frac{41}{42}\right)$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

$\sum_{1\le x< n, \operatorname{NWD} (x,n)=1} \cos \left(2\pi\cdot\frac{x}{n}\right)=\mu(n)$

Dyskretna transformata Fouriera pozwala szybko mnożyć liczby i wielomiany.

[edytuj] Fizyka

Funkcje trygonometryczne są niezbędnym narzędziem w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../f/u/n/Funkcje_trygonometryczne.html"

Kategoria: Trygonometria