Teorema del flusso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Indice

1 Flusso e superfici di livello
2 Conservatività del campo elettrico
3 Teorema del flusso
- 3.1 Flusso generato da una distribuzione di carica continua
4 Voci correlate

[modifica] Flusso e superfici di livello

Il campo elettrico $\vec E_0$ è un campo vettoriale. Nello studio dei campi vettoriali si parla di linee di flusso o linee di forza intendendo quelle linee orientate che sono in ogni punto tangenti alla direzione del vettore di campo, in questo caso del campo elettrico.

Il potenziale elettrico $V 0$ invece è un campo scalare cioè una funzione dipendente dalle coordinate dei punti dello spazio ed eventualmente dal tempo. Se il potenziale elettrico è una funzione continua e derivabile nello spazio allora gode della proprietà che la sua variazione infinitesima $d\vec s = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz$ , allora la sua variazione totale è il differenziale totale:

$dV_0 = \frac {\partial V_0} {\partial x} dx + \frac {\partial V_0} {\partial y} dy + \frac {\partial V_0} {\partial z} dz$

cioè come differenziale esatto. Introducendo l'operatore gradiente:

$\vec \nabla = \frac {\partial} {\partial x} + \frac {\partial} {\partial y} + \frac {\partial} {\partial z}$

possiamo scrivere la variazione di $V 0$ :

$dV_0 = d\vec s \cdot \vec \nabla V_0 = d\vec s \cdot \vec {grad} \, V_0$

Si può vedere che quando questo prodotto vettoriale è nullo significa che il vettore gradiente è ortogonale alle superfici di livello di $V 0$ .

[modifica] Conservatività del campo elettrico

Risulta evidente che data una funzione scalare ovvero un campo scalare, si può sempre dedurre da questo un campo vettoriale dato dal gradiente di questo campo in ogni punto. In effetti ciò avviene per il potenziale elettrostatico:

$\vec E_0 = -\vec grad \, V_0 = - \vec \nabla V_0$

dove il segno meno è dovuto alla direzione dei vettori nel calcolo di $\vec E_0$ . Il viceversa però non è sempre vero. Poniamoci allora il problema di vedere per quali condizioni dato un campo vettoriale è possibile trovare una funzione che rappresenta il campo assegnato in ogni punto.

Per dimostrare questo si usa un teorema di matematica: condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo in un insieme semplicemente connesso (ad esempio, un insieme stellato o convesso) è che l'integrale del campo lungo una linea chiusa sia nullo. L'integrale lungo una linea chiusa è detta anche circuitazione del campo:

$\oint \vec E_0 \cdot d\vec s = 0$

che equivale anche al fatto che l'integrale non dipende dal cammino percorso ma solo dai punti iniziale e finale per andare da A e B:

$\int_{A}^{B} \vec E_0 \cdot d\vec s = \int_{A}^{B} \vec \nabla V_0 \cdot d\vec s = V_0(A) - V_0(B)$

[modifica] Teorema del flusso

Carica Q interna alla superficie S

Consideriamo una superficie chiusa qualsiasi S che contiene al suo interno una carica Q puntiforme. Questa carica crea un campo elettrico $\vec E_0$ le cui linee di flusso attraversano la superficie. Prendiamo un elemento infinitesimo della superficie $d S$ e indichiamo con $\vec n$ il versore uscente normale a questo elemento di superficie. Si definisce flusso infinitesimo del vettore $\vec E_0$ uscente dall'elemento di superficie $d S$ :

$d\phi(\vec E_0) = \vec E_0 \cdot \vec n dS$

Per ottenere il flusso totale uscente da S bisogna integrare su tutta la superficie:

$\phi_S(\vec E_0) = \int_{S} \vec E_0 \cdot \vec n dS = \int_{S} \frac {1}{4\pi \epsilon_0} \frac {Q} {r^2} \vec n \cdot dS = \int_{S} \frac {1}{4\pi \epsilon_0} \frac {Q} {r^2} dS_{\perp}$

Sappiamo che l'angolo solido al vertice del cono con base dS è dato da:

$d\omega = \frac {dS_\perp} {r^2} \Longrightarrow \Omega = 4\pi$

dove $dS_\perp$ è la proiezione di dS ortogonale ad $\vec n$ .

Possiamo così inserire l'angolo solido nel calcolo del flusso:

$\phi_S(\vec E_0) = \frac {Q}{\epsilon_0} \int_{S} \frac {d\omega} {4\pi} = \frac {Q}{\epsilon_0} \frac {4\pi} {4\pi}$

Possiamo enunciare il teorema del flusso o di Gauss: Il flusso del vettore $\vec E_0$ uscente da una superficie S qualsiasi contenente una carica puntiforme (più cariche puntiformi interne $Q_{tot}^{int}$ ) è uguale a:

$\phi_S(\vec E_0) = \frac {Q_{tot}^{int}} {\epsilon_0}$

Qui puoi vedere gli esempi sul calcolo del campo elettrico con il teorema del flusso di Gauss.

Carica Q esterna alla superficie S

In questo caso il flusso è nullo poiché le linee di flusso attraversano la superficie in due elementi di superficie però con versori normali opposti che quindi si annullano a vicenda; sia che si abbia una carica che più cariche che una distribuzione continua comunque esterne si ha sempre:

$\phi_S(\vec E_0) = \frac {Q_{tot}^{est}} {\epsilon_0} = 0$

[modifica] Flusso generato da una distribuzione di carica continua

Quando la superficie S racchiude una distribuzione di carica continua, possiamo considerare sempre un volumetto infinitesimo $d v = d x d y d z$ con densità di carica volumetrica $ρ$ in modo tale da avere:

$\phi_S(\vec E_0) = \frac {1} {\epsilon_0} \int_{v} \rho \cdot dv$

Qualitativamente possiamo considerare flusso una tale grandezza capace di determinare la quantità di linee che attraversano un'assegnata superficie.

[modifica] Voci correlate

Fisica
Acustica \| Astrofisica \| Elettromagnetismo \| Fisica atomica \| Fisica della materia condensata \| Fisica molecolare \| Fisica nucleare e subnucleare \| Fisica delle particelle \| Fisica del plasma \| Fisica teorica \| Meccanica classica \| Meccanica del continuo \| Meccanica quantistica \| Meccanica statistica \| Ottica \| Teoria della relatività \| Teoria delle stringhe \| Teoria quantistica dei campi \| Termodinamica Risorse utili Calendario eventi - Costanti fisiche - Fisici celebri - Glossario fisico - Lista delle particelle - Immagini - Sistemi di misurazione - Storia della fisica - Premi Nobel per la fisica (ordine alfabetico e cronologico) - Unità di misura Categorie: Tutte le voci di fisica - Fisici - Strumenti di misura - Unità di misura - Voci da aiutare Coordinamento: Progetto fisica - Millibar - Portale della fisica

Fisica