Variabile casuale di Weibull

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La variabile casuale di Weibull (dallo svedese Waloddi Weibull,1887-1979) è una variabile casuale continua utilizzata p.es. nell'ambito dei controlli di qualità industriali.

Indice

1 Applicazioni
2 Aspetti metodologici
3 Teoremi
4 Rappresentazione alternativa
5 Voci correlate
6 Collegamenti esterni

[modifica] Applicazioni

Un esempio dell'applicazione della v.c. di Weibull è la descrizione della probabilità che una catena produttiva si fermi. Il guasto di un suo membro porta all'arresto di tutta la catena. Simile situazione nei materiali: basta una crepa che superi una determinata dimensione per rendere inutilizzabile l'intero pezzo.

Si spiega così pure la dipendenza della robustezza di un materiale dalla sua forma geometrica. O l'allungamento di una catena (o di un pezzo di materiale) riduce la sua resistenza, mentre il rafforzamento dei singoli anelli (o l'ingrossamento di un pezzo di materiale) la rinforza.

[modifica] Aspetti metodologici

La funzione di densità di probabilità della v.c. di Weibull è data da

$f(x)=\alpha \beta x^{\beta - 1} e^{- \alpha x^ \beta}$

e la sua cumulata è

$F(x)=1-e^{- \alpha x^ \beta}$

per x > 0, a > 0 e ß > 0.

Il suo valore atteso e la sua Varianza sono, rispettivamente:

$E(X)=\alpha^{-1/ \beta} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{\beta}+1\right)$

$V(X)=\alpha^{-2/ \beta} \cdot \left(\Gamma\left(\frac{2}{\beta}+1\right)- \Gamma \left(\frac{1}{\beta}+1\right)^2 \right) ,$

dove $Γ$ è la funzione Gamma.

Immagine:Weibull.png

Il grafico mostra che la funzione di densità di probabilità per diversi valori di ß. Si vede che per ß=1 si ottiene la variabile casuale esponenziale. Per ß<1 si ottiene un tasso di mortalità monotono decrescente. La parentela con la v.c. esponenziale va ancora oltre.

[modifica] Teoremi

[modifica] v.c. Esponenziale e Weibull

$X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ è una variabile casuale Esponenziale se $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 1, \lambda^{-1})$ .

Se $X$ è una v.c. esponenziale con parametro $λ$ , allora la v.c. $Y := X^c ~(c>0)$ è una v.c. di Weibull con i parametri $α = λ$ e $β = 1 / c$ . Come dimostrazione si osservi la cumulata di Y:

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^c \le y) = P(X \le y^{1/c}) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^{1/c}},~y > 0$ .

che è la cumulata della Weibull (cvd).

[modifica] v.c. Rayleigh e Weibull

$X \sim \mathrm{Rayleigh}(\beta)$ è una variabile casuale di Rayleigh se $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 2, \sqrt{2} \beta)$ .

[modifica] v.c. rettangolare e Weibull

$\lambda(-\ln(X))^{1/k}\,$ è una v.c. Weibull se X è distribuita come una variabile casuale rettangolare definita tra zero e uno.

[modifica] Rappresentazione alternativa

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La funzione di densità di probabilità può essere parametrizzate anche nel seguente modo

$f(t)=\frac{b}{T} \, \left(\frac{t}{T}\right)^{b-1} \, e^{-\left(\frac{t}{T}\right)^b}$

con la cumulata

$F(t)=1-e^{-\left(\frac{t}{T}\right)^b}$

per t > 0, T > 0 e b > 0, dove t è il tempo (o la robustezza,...), T la durata caratteristica e b il cosiddetto modula di Weibull m.
Se si rappresenta la distribuzione nella forma

$\ln{\ln{\frac{1}{1-F(t)}}}=b \, \ln(t) - b \, \ln(T)$

si ottiene una retta, dove il parametro b viene interpretato come pendenza. Il parametro T può essere calcolato nel seguente modo

$T=e^{-\left(\frac{a}{b}\right)}$

dove a è l'intersezione con l'ordinata.

Spesso accade, che nonostante l'utilizzo si verifichino dei guasti solo dopo un tempo di utilizzo $t 0$ . Anche questo può essere preso in considerazione dalla v.c. di Weibull, che può essere rappresentata nel seguente modo

$F(t)=1-e^{-\left(\frac{t-t_0}{T-t_0}\right)^b}$

tracciando anche in questo caso la funzione, non si ottiene una retta ma una curva convessa verso l'alto. Se si spostanto tutti i punti per il valore $t 0$ , la curva diventa una retta.