Velocità di regime

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Si definisce velocità di regime, la velocità che un corpo in movimento immerso un fluido acquista quando la forza a cui il corpo è soggetto equivale, in modulo (stessa direzione, ma verso opposto), alla forza di attrito viscoso esercitata dal fluido. In termini matematici:

$\mathbf{f}=-\eta K\mathbf{v}$

dove f è la forza d’attrito viscoso, η è il coefficiente di attrito interno o di viscosità, K è una lunghezza che caratterizza il corpo che si muove alla velocità v. Definito un sistema di riferimento in cui la velocità del corpo assume verso positivo, il segno - (meno) indica che la forza si oppone al moto. Per una sferetta di raggio r, la lunghezza caratteristica K, data dalla legge di Stokes, è K = 6 π r.

[modifica] Esempio

Per chiarire meglio il concetto di velocità di regime, si vuole proporre il seguente esempio:

Un corpo è in caduta libera in un fluido. Determinare la sua velocità di regime.

In accordo con il secondo principio della dinamica, e con le condizioni dell’equilibrio dinamico, sussiste, per un corpo che si muove con velocità costante, la seguente relazione:

$\sum \mathbf{F} = 0$

Le forze applicate al corpo in caduta libera sono il suo peso, la spinta di Archimede (qualora non fosse trascurabile) e la forza di attrito viscoso. Per l’equilibrio si ha che:

$\mathbf{P} + \mathbf{S} + \mathbf{f} = 0$

dove P è il peso del corpo e S la spinta di Archimede. Sommando i moduli delle forze (le forze considerate hanno tutte la stessa direzione), si ha:

m g = η K v + ρ g V

con:

m massa del corpo;
ρ densità del fluido;
V volume del corpo o del liquido spostato.

Dalla formula precedente si può, in definitiva, ricavare la velocità di regime, che risulta essere:

$v = \frac{g(m - \rho V)}{\eta K}$

o, qualora fosse nota la massa di fluido m_fl spostata:

$v = \frac{g(m-m_{\mbox{fl}})}{\eta K}$

Il fenomeno fisico appena enunciato è anche sfruttato, ad esempio, dai paracadutisti, i quali, dopo aver aperto il paracadute, raggiungono, ad un certo istante, una velocità di regime, che consente una discesa a velocità costante.

[modifica] Approfondimenti

Negli approfondimenti viene trattato il caso particolare di un corpo in caduta libera in un fluido, soggetto a spinte di Archimede trascurabili. Si determinerà la velocità come funzione del tempo e il tempo discreto, oltre il quale gli incrementi di velocità sono strascurabili; si passerà in seguito a determinare l'acceleazione come funzione del tempo e la legge e il diagramma orario del suddetto moto.

[modifica] Velocità e Tempo

La velocità di regime, però, rappresenta solo un valore-limite. Infatti, la velocità di un corpo in movimento in un fluido raggiunge una velocità solo prossima a qualla di regime, in un tempo oltre il quale ulteriori incrementi di velocità sono trascurabili. Al fine di determinare la relazione tra la velocità e il tempo, si può impostare, per un corpo in caduta libera in un fluido e soggetto ad una spinta di Archimede trascurabile, la seguente uguaglianza:

m a = m g - η K v

che può anche essere scritta come:

$m \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t} = mg - \eta K v$

da cui si ricava, risolvendo:

$v(t) = v_0 \exp\left(- \frac{t}{\tau}\right) + g \tau \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]$

in cui τ rappresenta il tempo discreto oltre il quale gli incrementi di velocità sono trascurabili. Questo valore puo essere ricavato da:

$\tau = \frac{m}{\eta K}$

Si può facilmente notare come, per tempi abbastanza lunghi o, al limite, tendenti all'infinito, la velocità acquisita dal corpo coincida con la velocità di regime g τ.

[modifica] Accelerazione

Per un corpo in caduta libera in un fluido, soggetto a spinte di Archimede nulle, oltre a variare la velocità, varia anche l'accelerazione. Ciò è testimoniato dal fatto che, una volta raggiunta, la velocità di regime di mantiene costante nel tempo. Dopo aver trovato la relazione che lega velocità e tempo, si può facilmente determinare la relazione che intercorre tra l'accelerazione e il tempo. Essa non è altro che la derivata della velocità:

$a(t)=\dot{v}(t)=\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left\{v_0 \exp\left(- \frac{t}{\tau}\right) + g \tau \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\right\}$

la cui soluzione è:

$a(t)=-\frac{v_0}{\tau}\exp\left(- \frac{t}{\tau}\right) + g\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\,$

[modifica] Legge Oraria

La legge oraria per un corpo in caduta libera in un fluido, soggetto a spinte di Archimede nulle, rappresenta la variazione della posizione, o meglio, dell'altezza, in relazione al tempo. Per definizione di velocità, si ha:

$v(t)=\frac{\operatorname{d}s}{\operatorname{d}t}$

Per la precedente si ha dunque:

$s(t) = s_0 + \int_0^t v(t)dt = \int_0^t \left\{v_0 \exp\left(- \frac{t}{\tau}\right) + g \tau \left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\right\}dt$

la cui soluzione è:

$s(t)=s_0+v_0\tau\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]+g\tau\left\{t-\tau\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\right\}$

In verità, quest'ultima rappresenta lo spazio percorso in funzione del tempo. Se è nota l'altezza dalla quale cade il corpo, si può determinare l'altezza semplicemente sottranendo dalla quota nota lo spazio percorso:

h (t) = h 0 - s (t)

La soluzione di quest'ultima equazione (h(t)) è il tempo t^* nel quale il corpo raggiunge la quota 0: h(t^*) = 0.

[modifica] Voci correlate

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