カイザー窓

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Kaiser window function for n=100 and α= 0.5,1,2,4,8,16.

カイザー窓 (Kaiser window) はデジタル信号処理で使用されるほぼ最適の窓関数 w_k である。そして公式

$w_k = \left\{ \begin{matrix}\frac{I_0(\pi\alpha \sqrt{1 - (2k/n-1)^2})} {I_0(\pi\alpha)} & \mbox{if } 0 \leq k \leq n \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.$

によって定義されている。ここで I₀ は第1種の0次の変形ベッセル関数であり、α は窓の形状を決める任意の実数である、そして整数 n は窓の長さである。

定義から、この関数は常に k = n/2、すなわち窓の中心でピークをもち、そして窓の端に向かって指数関数的に減衰する。

α の値が大きくなるほど窓は狭くなっていく。α = 0　は長方形窓に相当する。逆に言えば、より大きい α に対して、メインローブの幅は w_k のフーリエ変換後の空間で増加し、サイドローブは振幅で減衰する。このようにしてこのパラメータはメインローブの幅とサイドローブの領域を支配している。大きな α に対して、カイザー窓の形状はガウス型関数の傾向になる。

[編集] カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓

関連した窓関数は カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓である、これは修正離散コサイン変換 (MDCT) での使用に適当に設計されたものである。

KBD 窓関数 d_k はカイザー窓 w_k の項で、公式

$d_k = \left\{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } 0 \leq k < n \\ \\ \sqrt{\frac{\sum_{j=0}^{2n-1-k} w_j} {\sum_{j=0}^{n} w_j}} & \mbox{if } n \leq k < 2n \\ \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{matrix} \right.$

で定義される。

これは長さ 2n の窓を定義している。ここで定義から d_k はMDCTに対する次のプリンセン-ブラッドレイ条件を満たす： d_k²+d_k+n² = 1（w_n-k = w_k を用いて示される）。

KBD 窓はもう１つの MDCT 条件である対称性 d_k = d_2n-1-k も満たす。

[編集] 参考文献

A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing (Prentice-Hall, 1999).
J. F. Kaiser, "Digital Filters," System Analysis by Digital Computer chap. 7 (Wiley: New York, 1966); F. F. Kuo and J. F. Kaiser, eds.
KBD Window Page
H.Kato web page [1]

"http://ja.wikipedia.org../../../%E3%82%AB/%E3%82%A4/%E3%82%B6/%E3%82%AB%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%BC%E7%AA%93.html" より作成

カテゴリ: 信号処理

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