コンウェイのチェーン表記

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

コンウェイのチェーン表記とは、イギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイによって導入された巨大数の表記法である。

[編集] 定義

タワー表記の拡張による。まず、3つ組を定義する。0でない自然数 a,b,c について

$a\rightarrow \ b \rightarrow \ c = a \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{c} b$

4つ以上の数字を連ねて書いたときは、以下の規則によって変形できるものとする。

チェーンの数の最後が 1 のときは消去できる。
- a→b→...→y→z→1 = a→b→...→y→z
チェーンの数の最後から2番目が 1 のとき、これと最後の数をまとめて消去できる。
- a→b→...→x→1→z = a→b→...→x
次のような変形によって最後とその前の数を減らすことができる。
- a→b→...→x→y→z = a→b→...→x→(a→b→...→x→y-1→z)→z-1

これらのルールにより、2つの数字の場合は a→b = a^b となることが導かれる。なぜなら、

$a^b = a \uparrow b = a\rightarrow b \rightarrow 1 = a\rightarrow b$

[編集] 例

3→3→3

= 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = $\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}_{3^{3^3}(=7625597484987)}$

3→3→2→2

= 3→3→(3→3→1→2)→1 = 3→3→(3→3) = $3 \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{3^3} 3$

3→3→64→2

= 3→3→(3→3→63→2)→1 = 3→3→(3→3→(3→3→62→2)→1)

$= \cdots = \left.\underbrace{3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3}_{64})\cdots )) \right. = \left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{3\underbrace{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}_{\underbrace{\vdots}_{{}_3 \underbrace{{}_{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}}_{3^3}{}_3}}3}3 \end{matrix} \right \} 64$

3→3→3→3

= 3→3→(3→3→2→3)→2= 3→3→(3→3→(3→3→1→3)→2)→2

= 3→3→(3→3→(3→3)→2)→2 =

$\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{3\underbrace{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}_{\underbrace{\vdots}_{{}_3 \underbrace{{}_{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}}_{3^3}{}_3}}3}3 \end{matrix} \right \} 3\rightarrow 3 \rightarrow 3^3 \rightarrow 2 =\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{3\underbrace{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}_{\underbrace{\vdots}_{{}_3 \underbrace{{}_{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}}_{3^3}{}_3}}3}3 \end{matrix} \right \} \left. \begin{smallmatrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{3\underbrace{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}_{\underbrace{\vdots}_{{}_3 \underbrace{{}_{{}_{\uparrow\cdots\uparrow}}}_{3^3}{}_3}}3}3 \end{smallmatrix} \right \} 3^3$