巨大数

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巨大数（きょだいすう）とは、日常生活において使用される数よりも巨大な数のことである。非常に巨大な数は、数学、宇宙論、暗号理論などの分野でしばしば登場する。天文学的数字と呼ばれることもある。

[編集] 実社会に登場する巨大数

巨大数は専門的分野において使用されることがほとんどであり、巨大な数や微小な数を処理するために特殊な数学記号が使われている。だが巨大数の中には、実社会に登場するものもある。

実社会に登場する巨大数の例を、次に示す。

アメリカで一年間に吸われているタバコの本数 (約 10¹² 本)
人間の脳のシナプスの数 (約 10¹⁴ 本)
人間の体の細胞の数 (10¹⁴ 個以上)
一般的なコンピュータのハードディスクの容量 (10¹⁴ ～ 10¹⁶ ビット)
アボガドロ定数 (約 6.022 × 10²³)

[編集] 「天文学的」な巨大数

巨大数は、天文学の分野にも登場する。

観測可能な宇宙に存在する原子の総数 (10⁷⁹ ～ 10⁸¹ 個)

MD5のハッシュキーの長さは128ビットであり、2¹²⁸ (約 3.402×10³⁸ )通りのハッシュ値をとる。これは非常に良好なハッシュ関数であり、あるドキュメントが特定のハッシュ値をとる確率は 2^-128 となっている。これは実質的にはゼロに等しい値である（ただし、誕生日のパラドックスに注意）。

しかしながらこの数は、地球上に存在する原子の総数と比較するとまだまだ小さな数であり、観測可能な宇宙に存在する原子の総数よりも遥かに小さい数といえる。

[編集] 一般の巨大数

急速に発散する関数に、組合せ関数がある。一意な要素の集合についての順列の数である階乗関数は、非常に急速に発散する関数である。

組合せ関数は、統計力学で扱われる巨大数を生成するために使われることがある。統計力学の分野で使用される数は、一般に対数を用いて表される。

無量大数 - 10⁶⁸、10⁸⁸とすることも
グーゴル - 10¹⁰⁰
センティリオン - 米・加では10³⁰³、欧州（英連邦）では10⁶⁰⁰
不可説不可説転 - $10^{7\times 2^{122}}$
グーゴルプレックス - 10^googol
スキューズ数 - 第一: $e^{e^{e^{79}}}$ 第二: $10^{10^{10^{1000}}}$
スタインハウスのメガ
スタインハウスのメジストン
モーザー数
グラハム数

[編集] 計算不可能な手続による巨大数の構成

ビジービーバー関数 Σ は、あらゆる計算可能な関数よりも速く増大する関数の一例である。ビジービーバー関数自身は計算不可能である。引数が比較的小さな値であっても巨大な値を返す。n = 1, 2, 3, 4 に対して、Σ(n) の値はそれぞれ 1, 4, 6, 13 である。Σ(5) は未知であるが、4098以上の値をとる。Σ(6) は少なくとも 1.29×10⁸⁶⁵ である。

[編集] 無限数

上述の数はすべて非常に巨大な数であるが、それでも有限である。数学の一部の分野では、無限大や超限数という定義をしている数がある。

アレフ0 ( $\aleph_0$ ) は、整数の集合の濃度である。
アレフ1 ( $\aleph_1$ ) は、アレフ0 の次に大きい基数である。
アレフ ( $\aleph$ ) あるいは $\mathfrak{c}$ は、実数の濃度である。命題 $\mathfrak{c} = \aleph_1$ は、連続体仮説として知られている。
巨大基数　は、ZFCではその存在が証明できないような大きな基数である。例えば、（弱・強）到達不可能基数、マーロ基数、（弱・強）コンパクト基数、可測基数等がある。

[編集] 巨大数の表記法

巨大数の大きさは一般に指数を用いて表され、多くの現実的な目的においてはそれで十分である。しかし、モーザー数やグラハム数などは「10の10乗の10乗の…」を宇宙の果てまで続けても追い付かないほどのとてつもなく巨大な数であり、指数では表現しきれない。そのような超巨大な数を表現するために、多くの数学者が独特の表記法を考え出した。

クヌースの矢印表記（タワー表記）は、指数の積み重なりである指数タワーを記述するための、非常に単純な表記法である。

ハイパー演算子は、加法の繰り返しで乗法、乗法の繰り返しで冪乗を作ることを発展し、新たな演算を作っていくものであり、本質的にはタワー表記の別表記である。

コンウェイのチェーン表記は、タワー表記の「矢印の増加」そのものの繰り返し、『「矢印の増加」に繰り返しを入れること』の繰り返しなどを表現できるようにし、さらに巨大な数を表せるようにしたものである。

スタインハウス・モーザーの多角形表記は、巨大数を示すために多角形を使用している。

超階乗は階乗を拡張したものである。

アッカーマン関数は、与える数が大きくなると急激に増大する関数である。