自発的対称性の破れ

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自発的対称性の破れ（じはつてきたいしょうせいのやぶれ、spontaneous symmetry breaking）とは、場の基底状態に作用またはハミルトニアンを不変に保つような対称性があり、そのうち自然が無作為にある状態（真空）のみをとることで真空の対称性が壊れる現象やその過程を指す。対義語に力学的対称性の破れがある。

主に物性物理学、素粒子物理学において用いられる概念であり、前者では超伝導を記述するBCS理論でクーパー対ができる十分条件、後者では標準模型の粒子に質量をあたえるヒッグス機構の一部などにみることができる。またこのほか磁気学における強磁性体の磁化についても発生の前後で自発的対称性の破れが考えられている。

[編集] メキシカン・ハット（ワイン・ボトル）型ポテンシャル

（＊）式で

μ = - 10,λ = 1

とした場合の自発的対称性の破れの図（

θ

は谷の円周方向である）

理論物理学では場の対称性はすべて作用（もしくはラグランジアン、ハミルトニアン）に含まれるとされる。特にラグランジアンのポテンシャル（相互作用）項は系の状態を如実に表わす。自発的対称性の破れを起こすような模型のラグランジアンで最も簡単なもののひとつは「メキシカン・ハット（ワイン・ボトル）型ポテンシャル」と呼ばれるものである。

いま複素スカラー場 $\phi=\phi_0\,e^{i\theta}$ が次のような運動項、ポテンシャル項をもつ系を考える。

$L = \partial^\mu\phi^*\,\partial_\mu\phi - V(\phi)\ ,$

$V(\phi) = \mu|\phi|^2 + \lambda|\phi|^4 \quad \cdots (*)$

このとき μ、λ は任意の定数であり、θ の値を任意に変化させてもラグランジアンは不変である（対称性がある）。スカラー場の基底状態はポテンシャルの安定点で決まるが、μ、λ>0 であるような場合の安定点は φ=0 のみであり、真空も θ の値によらないためこの対称性は破れない。しかし μ<0、λ>0 の場合

$\phi=\sqrt{-\frac{\mu}{2\lambda}}\ e^{i\theta}$

がより安定で基底状態となる。このときラグランジアンには θ を 0 から 2π のあいだで動かすU(1)対称性が残っているが、真の真空は θ の値によってその方向が決まってしまうため、もはや対称性は壊れている。

素粒子物理学ではこのゼロでない φ の真空期待値を核として場に質量を与えることが考えられている（ヒッグス機構）。

[編集] 自発磁化と自発的対称性の破れ

強磁性体では外部から磁場をかけなくとも物質内部の磁気モーメントがそろった領域（磁区）ができること（自発磁化）が知られている。この現象は原子間のスピンの向きに関する相互作用による。この相互作用は3次元ハイゼンベルグ模型では

$H_{int} = J\sum_i^n \vec{S}_i \cdot \vec{S}_{i+1}$

であらわされるが、この相互作用ハミルトニアンは座標回転に対応したO(3)変換に対して不変である。ここで $\vec{S}_i$ はスピンベクトル、 $J\,(>0)$ は交換相互作用定数をあらわし、 $n$ はスピンの数である。これをみるとどの方向に自発磁化ができるかはまったく等価であり、いずれも等しく系の基底状態で理論から定めることはできない。