차원
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차원(次元)은 본질적으로 공간에서 운동에 대한 유효한 자유도의 수(數)이다. 통상적인 용법으로, 한 사물의 차원은 그 물체의 모양과 크기를 정의하는 측정값이다.
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[편집] 물리학적 차원
지구는 3차원으로 나타낼 수 있다. 지구 안에서는 3차원 요소인 입체(공간)와 2차원 요소인 면(그림자), 및 1차원 요소, 프랙탈 차원(1차원에서 3차원 사이의 정수 차원을 제외한 차원)이 존재한다.
시간은 가끔 '4차원 요소'라고 오해되기도 한다. 그것은 앞서의 세 개의 공간적 차원과는 다르고 단지 시공간의 한 차원일 뿐이다. 우리가 지각하는 거시적 규모에서 보면 물리학적 과정은 시간의 관해서 대칭적이 아니다. 그러나 원자적 세계의 플랑크 규모에서 보면 거의 모든 물리학적 과정은, 원자적 세계의 소립자들이 시간을 거꾸로 움직이는 것을 함축하는 것은 아니지만, 시간 대칭성이다. (예를 들어, 이 과정을 기술하는 데 사용하는 방정식들은 시간의 방향성과는 관계없이 같다.)
끈 이론과 같은 이론은 고차원(때로, 10차원 또는 11차원 혹은 26차원)을 갖고 있다고 예측하고 있지만, 이 추가적인 차원이 측정되는 우주는 크기 면에서 원자적 세계에서이다.
물리학과 공학에서, 물리량의 차원은 측정되는 그런 양으로써의 물리 단위의 종류에 대한 표현이다.
예를 들어 속도의 차원은 길이를 시간으로 나누는 것이다. SI 단위계에서 차원은 기본 양의 7개 지수로 나타낼 수 있다.
[편집] 수학적 차원
수학에서, 하나의 정의가 우리가 차원이라는 개념을 쓰고 싶을 모든 상황을 전부 포괄하지는 못한다. 따라서 수학자들은 서로 다른 종류의 공간마다 각각의 차원에 대한 정의를 이끌어 내었다. 하지만 어느 경우도 결국 유클리드 n-공간인 E n 의 차원 개념에 기초하고 있다. 점 공간인 E 0 은 0차원이다. 직선 공간 E 1 은 1차원이다. 평면 공간 E 2 은 2차원, 그리고 일반적인 E n 은 n차원이다.
초입방체(hypercude 또는 tesseract)는 4차원 대상의 쉬운 예이다.
이제부터 몇몇 중요한 수학적인 차원에 대한 정의를 살펴보기로 하자.
[편집] 하멜 차원
벡터 공간에 대해서는, 차원에 대한 자연스러운 정의, 즉 기저(basis)의 기수가 있다.
[편집] 다양체
연결된 위상적 다양체는 국소적으로 유클리드 n-공간과 위상동형이고, 숫자 n은 다양체의 차원으로 불린다. 이러한 정의가 모든 연결된 위상적 다양체에 대해서 유일한 차원을 정의함을 보일 수 있다.
기하학적 위상수학의 분야에서의 다양체 이론은 차원 1 또는 2를 갖는 것으로 특징지을 수 있으며, 상대적으로 다루기 쉽다. n > 4 인 고차원 상황은 '작업'할 만한 여분의 공간을 가짐으로써 단순화되며, n = 3 , 4 인 경우가 어떤 의미에서 가장 어렵다. 이런 상황은 푸앵카레 추측의 다양한 상황에서 잘 보이는데, 네 개의 서로 다른 증명 방법이 적용된다..
