2의 거듭제곱

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수학에서 2의 거듭제곱은 2의 음이 아닌 정수 거듭제곱을 말한다. 1은 2의 (0번째) 거듭제곱이다. 이진수로 적으면 2의 거듭제곱은 1000···0의 모양을 하게 된다.

2가 이진수의 밑이므로 2의 거듭제곱은 전산학에서 중요한 수가 된다. 2의 n제곱은 n-비트로 표현할 수 있는 가짓수가 된다. 2의 거듭제곱은 컴퓨터 메모리의 단위로 쓰인다. 한 바이트는 8 (2³) 비트로 이루어져 있다. 1 킬로바이트는 1024 (2¹⁰) 바이트이다. 컴퓨터의 레지스터는 2의 거듭제곱 크기(현재의 개인용 컴퓨터는 32비트)로 되어 있다.

하드디스크의 크기나 주소도 2의 거듭제곱 꼴이 된다. 그래픽 해상도와 같이 2의 거듭제곱 꼴이 아닌 경우에도 대개 둘 또는 세 개의 2의 거듭제곱, 또는 거듭제곱보다 하나 작은 수 의 합 또는 곱의 형태로 나타낼 수 있다. 예를 들어 640 = 512 + 128, 480 = 32 × 15이 된다.

2의 거듭제곱보다 1이 작은 소수을 메르센 소수라고 한다. 예를 들어 31은 32보다 1이 작은 소수이므로 메르센 소수이다.

[편집] 2부터 2의 40제곱까지

2¹

2¹¹

2,048

2²¹

2,097,152

2³¹

2,147,483,648

2²

2¹²

4,096

2²²

4,194,304

2³²

4,294,967,296

2³

2¹³

8,192

2²³

8,388,608

2³³

8,589,934,592

2⁴

2¹⁴

16,384

2²⁴

16,777,216

2³⁴

17,179,869,184

2⁵

2¹⁵

32,768

2²⁵

33,554,432

2³⁵

34,359,738,368

2⁶

2¹⁶

65,536

2²⁶

67,108,864

2³⁶

68,719,476,736

2⁷

128

2¹⁷

131,072

2²⁷

134,217,728

2³⁷

137,438,953,472

2⁸

256

2¹⁸

262,144

2²⁸

268,435,456

2³⁸

274,877,906,944

2⁹

512

2¹⁹

524,288

2²⁹

536,870,912

2³⁹

549,755,813,888

2¹⁰

1,024

2²⁰

1,048,576

2³⁰

1,073,741,824

2⁴⁰

1,099,511,627,776

[편집] 2의 (2의 거듭제곱) 제곱

컴퓨터의 메모리나 레지스터가 2의 거듭제곱 크기의 비트로 이루어져 있으므로, 2의 (2의 거듭제곱) 제곱 형태의 수가 자주 나타난다.

2¹ = 2

2² = 4

2⁴ = 16

2⁸ = 256

2¹⁶ = 65,536

2³² = 4,294,967,296

2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616

2¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456

[편집] 그 밖의 2의 거듭제곱

2¹⁰ = 1,024 — 킬로(1000)의 근사값으로 쓰인다. 예를 들어 1,024 바이트 = 1 킬로바이트이다. (정확히는 1 키비바이트) 이 숫자는 컴퓨터에게는 의미가 없으나 사람이 사용하는 십진수와 가까워 많이 쓰인다.

2²⁴ = 16,777,216 — 트루컬러 시스템이 표현할 수 있는 색의 수.

[편집] 2의 거듭제곱을 빠르게 판별해 내는 방법

이진수의 성질을 이용해서 주어진 수가 2의 거듭제곱인지 빠르게 알아낼 수 있다.

x는 2의 거듭제곱이다 ⇔ (x & (x-1))이 0이다. (&는 비트 AND 연산자)

예를 들면:

-1	=	1...111...1	-1	=	1...111...111...1
x	=	0...010...0	y	=	0...010...010...0
x-1	=	0...001...1	y-1	=	0...010...001...1
x & (x-1)	=	0...000...0	y & (y-1)	=	0...010...000...0