Funziú (matemàtega)

From Wikipedia

Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Cuntegnüü

1 Presentazziú
2 Definizziú
3 Nuzziú d’aplicazziú
- 3.1 Definizziú
- 3.2 Esempi
4 Restrizziú d'una funziú
5 Cumpusizziú da funziú
- 5.1 Definizziú
- 5.2 Teureme da munutunía
6 Ingetivitaa e sürgetivitaa
7 Recípruca d'una funziú
8 Descumpusizziú canònega
9 Paritaa d’una funziú reala
10 Vidée apó

[redatá] Presentazziú

Sa la pöö vidé una funziú cuma una « trasfurmazziú » da vargü uget int un òolt uget. Inscí, i gh’è di funziú ch’i trasfurma di nümar in nümar (par esempi i pulinomi, i [[Funziú trigunumétriche...), di funziú ch’i trasfurma di puunt in puunt (par esempi i rutazziú, traslazziú, umutetíe...), di funziú ch’i trasfurma di furme geumétriche in nümar (par esempi la lunghezza d’un segment, l’àrea délimitada par un pulígun...).

Sa la cjama imàgen d'un uget par chesta funziú l'uget utegnüü dapress la trasfurmazziú par la funziú .

[redatá] Definizziú

Furmalameent, una funziú f d’un cungjuunt E int un cungjuunt F al è una curespundenza u relazziú ch’a l’è funziunala;

al è dunca un triplet ( E , F , G ) indúe G al è un sübcungjuunt da E xF íntal quaal cada elemeent da E al pariss al plüü una völta.

E al è ul ‘‘‘cungjuunt da partenza da f ;
F al è ul ‘‘‘cungjuunt da rivada da f ;
e G al è ul graaf da f ; G al è nutaa da le völte « G_f » u « G( f ) » par precisá da che funziú s’è drée a parlá.

Sa l cjama cungjuunt da definizziú da la funziú f ul cungjuunt-antecedeent da f, i.e. ul cungjuunt di elemeent x da E taj che al esiist un elemeent y in F verifiaant $(x, y) \in G$ . Ul cungjuunt da definizziú da f, nutaa abitüalameent « D( f ) » , al è un sübcungjuunt da E.

Par tütt x da D( f ) , sa l nota « f ( x ) » l’ünich elemeent da F taal che $(x, f( x )) \in ''G''$ .

Si X e Y i è düü variàbil , in Y = f ( X ) , X al è una variàbil independenta e Y una variàbil dependenta ( da X ).

Sa l cjama 'cungjuunt-imàgen da f ul cungjuunt di elemeent y da F taj che al esiist un elemeent x in E verifiant f ( x ) = y.

Ul cungjuunt-imàgen da f, nutaa « Im( f ) » , al è un sübcungjuunt da F.

L’'imàgen par f d’un sübcungjuunt K da E al è :

$f(K)=\{y\in F :x\in E, f(x)=y\}$

L’imàgen da f a l’è un sübcungjuunt da F , e sa gh'a : Im( f ) = f ( E ).

L’imàgen recípruca u antecedeent par f d’un sübcungjuunt L da F a l’è :

$f^{-1}(K)=\{x\in E :y\in L, f(x)=y\}$

L’imàgen recípruca u antecedeent par f da F al è un sübcungjuunt da E , e sa a : D( f ) = f ^-1( F ).

Sa la pöö aplicá una funziú f int un puunt x dal sò cungjuunt da definizziú; ul resültaa a l’è nutaa f ( x ) , e al è l’ünich elemeent da l’imàgen taal che $(x, f( x )) \in ''G''$ .

[redatá] Nuzziú d’aplicazziú

[redatá] Definizziú

Furmalameent, una aplicazziú f d’un cungjuunt E int un cungjuunt F al è una funziú aplicativa, i.e. una curespundenza da che cada elemeent dal cungjuunt da partenza E la gh'a üna e noma üna imàgen :

al è dunca un triplet ( E , F , G ) indúe G al è un sübcungjuunt da E xF íntal quaal cada elemeent da E al pariss üna e noma üna völta.

Al è apó una funziú tala che D( f ) = E.

Image:Fonction-x.png

[redatá] Esempi

L’identitaa u aplicazziú idéntica d’un cungjuunt ( vidé chí-cuntra) a l’è l’aplicazziú da cheest cungjuunt in sí-istess che a cada elemeent la socja cheest elemeent e noma al. (Ul sò graaf al è dunca la diagunala dal cungjuunt).
Si E e F i è di cungjuunt mia vöj, e si b al è un elemeent da F , sa la pöö definí l’aplicazziú cunstanta da valuur b, da E in F , che a cada elemeent la socja b (Ul sò graaf al è dunca $\{ ( x , b ) | x \in E \}$ ).

[redatá] Restrizziú d'una funziú

Sa la cunsíderes una funziú f d’un cungjuunt E int un cungjuunt F.

Si K al è un sübcungjuunt da E , sa la cjama restrizziú da f a K la funziú nutada « f |_K » da K in F da che ul graaf al è : $G(f\vert_{K})=(x,y):x\in K, y\in F, y=f(x)$ .

Remarca : la cundizziú y = f ( x ) chí-da-sura la implica che x al partegn a D( f ) e che y al partegn a Im( f ).

[redatá] Cumpusizziú da funziú

[redatá] Definizziú

La cumpusizziú da dò funziú la permet d’utegní una terza funziú , « aplicant » la segunda funziú al resültaa da la prima.

I síes dò funziú : $f:E\to F$ , $g:F\to G$ ; la suva funziú cumposta $g\circ f$ la gh’a par graaf:

$G_{g \circ f} = \left\{ ( x , z ) \in E \times G \; | \; \exists ga \in F,\ ( x , ga )\in G_f \and ( ga , z ) \in G_g \right\} \,$

(al è bé la istessa cumpusizziú che la definida paj relazziú in generaal!)

In particülaar, si x al è íntal cungjuunt da definizziú da g of , sa gh'a : g of ( x ) = g [ f ( x )].

Al cuventa notá che la cumpusizziú da dò aplicazziú a l’è una aplicazziú , e che la cumpusizziú da dò funziú a l’è una funziú ; però chesta darera cumpusizziú la pöö iga un dumini da definizziú vöj!

[redatá] Teureme da munutunía

La cumpusizziú da dò funziú in l’istessa manera munòtune (munutone) al è cressenta. La cumpusizziú da dò funziú da munutunía cuntrària al è décressenta.

[redatá] Ingetivitaa e sürgetivitaa

Una funziú f al è cjamada ingetiva ( u al è una ingezziú , si al sa trata d'una aplicazziú ) Cura che :

$\forall x \in E , \forall y \in E , [ f ( x ) = f ( y ) ] \Rightarrow [ x = y ] \,$ .

Cheest chí al signifia che la funziú « la distinguiss » i difereent elemeent dal sò dumini da definizziú .

La cumpusizziú da dò ingezziú a l’è una ingezziú e, inversameent, si g of al è una ingezziú , alura f al è una ingezziú .

Una funziú f al è cjamada sürgetiva ( u al è una sürgezziú , si al sa trata d'una aplicazziú ) cura che :

$\forall y \in F , \exists x \in E,\ f ( x ) = y$ .

In d'òolt tèrmen, f al è sürgetiva ssi l'imàgen da E al è ul cungjuunt da rivada tütt intreegh; cheest chí al signifía che cada elemeent dal cungjuunt da rivada al pöö vess vidüü cuma imàgen d'un elemeent dal spazzi da partenza.

La cumpusizziú da dò sürgezziú a l’è una sürgezziú e, inversameent, si g of a l’è una sürgezziú , alura g a l’è una sürgezziú .

Una aplicazziú a l’è cjamada bigetiva ( u che al è una bigezziú ) cura che la a è cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva. Sigüür, i aplicazziú i è mia tüte da le bigezziú !

La cumpusizziú da dò bigezziú a l’è una bigezziú però inversameent, si la cumpusizziú da dò aplicazziú a l’è una bigezziú , sa l pöö noma dedüí che l'una a l’è una ingezziú e l'otra una sürgezziú .

[redatá] Recípruca d'una funziú

La curespundenza recípruca d’una funziú f a l’è una funziú si f al è ingetiva, e chesta funziú recípruca a l’è sí istessa ingetiva. La nutazziú abitüala par chesta funziú recípruca a l’è « f ^-1 » , però la implica un riisch da cunfüsiú cun la funziú inversa mültiplicativa da f, 1 / f , ch’a la pöö apó sa nutá « f ^-1 » , e al cuventa dunca sa mustrá fisc prüdeent íntal sò druvameent.

Da manera anàluga, la curespundenza recípruca d’una aplicazziú f a l’è una aplicazziú ssif a l’è bigetiva, e chesta aplicazziú recípruca a l’è sí-istessa una bigezziú .

[redatá] Descumpusizziú canònega

Sa la cjama relazziú binària sucjada canonicameent a la funziú f la curespundenza f ^-1 of definida in E par :

« x al è in relazziú cun y ssi x e y i gh’a una imàgen cumüna par f »

Chesta relazziú a l’è sémpar simétrica e trasitiva, però a l’è una relazziú d'equivalenza noma si f a l’è una aplicazziú ( vidé l'artícul « Uperazziú da Curespundenze » ).

Sa l pöö alura definí ul cungjuunt quozzieent E / ( f ^-1 of ) e la sürgezziú canònega s curespundenta, sucjada a l'aplicazziú f. Chesta sürgezziú la socja a cada elemeent x da E la suva classa d'equivalenza par f ^-1 of , ch’al è òolt che f ^-1 ( { f ( x ) } ), cungjuunt di antecedeent da f ( x ).

Cunsidéremm alura la curespundenza i da E / ( f ^-1 of ) in F definida par :

« A al è in relazziú cun y ssi A al è ul cungjuunt di antecedeent da y par f ^-1 of »

Chesta curespundenza a l’è una ingezziú , l' ingezziú canònega sucjada a l'aplicazziú f. Sa mustra da manera fàcil che : f = i os.

Resümiint : Cada aplicazziú la pöö vess descumpusada da manera ünica int una sürgezziú e una ingezziú .
Chesta descumpusizziú a l’è la descumpusizziú canònega da l'aplicazziú . In chesta descumpusizziú :

la sürgezziú s a l’è una bigezziú ssi f a l’è una ingezziú , i.e. si f ^-1 of = Id _E .
l'ingezziú i a l’è una bigezziú ssi f a l’è una sürgezziú , i.e. si f of ^-1 = Id _F .

Vargot ch’al preceet al pöö vess estendüü a una funziú qual-sa-vöör, a cundizziú da « cumpletá » ul graaf da f ^-1 of par la diagunala da E, da manera da reent la relazziú reflessiva e en fá inscí una relazziú d'equivalenza. Sa la retröva alura la descumpusizziú precedenta, a maanch che i al è plüü una funziú .

Resümiint: Cada funziú la pöö vess descumpusada da manera ünica int una sürgezziú e una funziú ingetiva.
Chesta descumpusizziú a l’è la descumpusizziú canònega da la funziú .