Specialioji reliatyvumo teorija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Specialioji reliatyvumo teorija – pirmoji iš reliatyvumo teorijų, 1905 metais aprašyta Alberto Einšteino straipsnyje „Apie judančių kūnų elektrodinamiką“. Ši teorija pakeitė Niutono mechaniką. Teorija vadinama specialiąja, nes joje nekreipiama dėmesio į gravitaciją, bendroji reliatyvumo teorija papildo specialiąją reliatyvumo teoriją paaiškindama gravitaciją. Specialiąją reliatyvumo teoriją galima taikyti tik ten, kur gravitacinis potencialas žymiai mažesnis už c². Kitais atvejais taikoma tik bendroji reliatyvumo teorija.

Šios teorijos pagrindinis teiginys – kad kiekvienam stebėtojui šviesos greitis vakuume yra vienodas visomis kryptimis ir nepriklauso nei nuo šaltinio, nei nuo stebėtojo judėjimo greičio. Iš to daroma išvada, kad kuo greičiau objektas juda, tuo lėčiau jam eina laikas, tuo objektas darosi sunkesnis ir jo tiesiniai matmenys, nejudančio stebėtojo atžvilgiu, darosi mažesni. Taip pat Einšteinas teigė, kad jokiais bandymais sistemos viduje negalima nustatyti skirtumo tarp judėjimo iš inercijos ir rimties būsenos.

Turinys

1 Postulatai
2 Laiko sulėtėjimas
- 2.1 Įrodymas
3 Ilgio sutrumpėjimas
- 3.1 Įrodymas
4 Masės padidėjimas
- 4.1 Įrodymas
5 E=mc²
- 5.1 Įrodymas
6 Energija ir judesio kiekis
- 6.1 Įrodymai
7 Lorenco laiko ir erdvės transformacijos
8 Priežastingumo principas
9 Greičių sudėtis
10 Niutono dėsnis
11 Keturmatis erdvėlaikis
12 Reliatyvumas ir elektromagnetizmas
13 Nuorodos

[taisyti] Postulatai

Teorijai įrodyti užtenka dviejų postulatų:

Visi fizikiniai gamtos procesai inertinėse atskaitos sistemose vyksta vienodai.
Tuščioje erdvėje šviesa visada sklinda greičiu c, kuris nepriklauso nuo šviesos šaltinio judėjimo.

Inertinės atskaitos sistemos – tai tokios atskaitos sistemos, kurios viena kitos atžvilgiu juda tiesiai ir tolygiai (jose galioja I Niutono dėsnis). Specialioji reliatyvumo teorija nagrinėja tik tokias atskaitos sistemas.

Iš antrojo postulato išplaukia, kad šviesos greitis nepriklauso, ar šaltinis juda stebėtojo atžvilgiu, ar ne. Pavyzdžiui, jei šviesos šaltinis juda šviesos sklidimo kryptimi greičiu, lygiu pusei šviesos greičio (0,5c), tai vistiek išmatavę šviesos sklidimo greitį stebėtojo atžvilgiu gausime, kad jis lygus tam pačiam c, o ne 1,5c. Taip yra todėl, kad stebėtojas ir šviesos šaltinis yra dvi inertinės atskaitos sistemos.

[taisyti] Laiko sulėtėjimas

Nejudančiam stebėtojui atrodo, kad judančio stebėtojo laikas eina lėčiau.

$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv t_0\gamma$

čia $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ vadinamas Lorenco daugikliu ir c yra šviesos greitis vakuume.

Taigi nėra absoliutaus laiko. Du įvykiai vienam stebėtojui atrodo vykstantys vienu metu, kitam gali vykti skirtingu laiku.

[taisyti] Įrodymas

Nagrinėkime dvi atskaitos sistemas S ir S'. Pažymėkime Δt₀ laiką, kurį matuoja atskaitos sistemoje S' esantis stebėtojas. Šis laikas dar vadinamas savuoju laiku. Δt – tai laikas, kurį išmatuos stebėtojas esantis S. Tegul sistema S' juda greičiu v sistemos S atžvilgiu. Sistemoje S šviesa atstumą L nueis per laiką $\Delta t_{0}=\frac{L}{c}$ . Sistemoje S' šviesa nueis atstumą $\sqrt{L^2+(v\Delta t)^2}$ . Vadinasi $\Delta t=\frac{\sqrt{L^2+(v\Delta t)^2}}{c}\Rightarrow c^2 \Delta t^2 = L^2 +v^2 \Delta t^2\Rightarrow \Delta t^2 (c^2-v^2)=L^2$

L dabar įsistatykime iš pirmosios formulės.

$\Delta t^2 (c^2-v^2)=\Delta t_0^2 c^2\Rightarrow \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .

[taisyti] Ilgio sutrumpėjimas

Nejudančiam stebėtojui judančio stebėtojo ilgis atrodo mažesnis.

$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\equiv\frac{L_0}{\gamma}$

[taisyti] Įrodymas

Mes žinome, kad:

$\Delta t_0 = \frac {\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

L 0 = v Δ t

(L₀ – atstumas, kurį matuoja stebėtojas esantis S. Δt – tai laikas, kurį išmatavo stebėtojas iš atskaitos sistemos S)

L = v Δ t 0

(L – atstumas, kurį matuoja stebėtojas esantis S'. Δt₀ – laikas, kurį matuoja stebėtojas esantis S')

Pasinaudodami šiomis lygtimis išsireikškime ilgį atskaitos sistemoje S'. $L=v\Delta t_0 \Rightarrow L=v \Delta t \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \Rightarrow L=L_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

[taisyti] Masės padidėjimas

Nejudančiam stebėtojui judantis stebėtojas yra masyvesnis.

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv m_0\gamma$

[taisyti] Įrodymas

Rutulių judėjimas atskaitos sistemose S ir S'

Remsimės prielaida, kad reliatyvumo teorijoje galioja judesio kiekio tvermės dėsnis. Judesio kiekis yra $\vec{p}=m\vec{v}$ . Atlikime mintinį eksperimentą. Nagrinėkime dviejų vienodų rutulių, kurių rimties masės m₀ smūgį. Nagrinėkime dvi inercines atskaitos sistemas S ir S'. Stebėtojui esančiam S', atrodys, kad sistemoje S laikas eina lėčiau. $\frac{t'}{t}=\gamma$ . Tegul stebėtojai išmeta rutulius greičiais u. Laikykime, kad u yra pakankamai mažas greitis. Dabar pritaikykime judesio kiekio tvermės dėsnį. $m' u' = m 0 u$ . Vadinasi $\frac{m'}{m_0}=\frac{u}{u'}$ . Kadangi rutuliai susiduria, tai jie vienu metu būna tame pačiame taške. Rutulių nueiti keliai yra vienodi ir lygūs L, nes atstumas mažėja tik judėjimo kryptimi ( $\vec{v}$ kryptimi), o ne jai statmena, todėl $u=\frac{L}{t}$ ir $u'=\frac{L}{t'}$ . Pasinaudoję šiomis lygtimis užrašome, kad $\frac{u}{u'}=\gamma$ . Taigi išeina, kad $\frac{m'}{m_0}=\gamma$ .

$m'=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

[taisyti] E=mc²

Vienas labiausiai žinomų rezultatų yra energijos ir masės sąryšis E=mc². Tai reiškia, kad masė ir energija yra ekvivalenčios. Bet kokia materijos rūšis, kuri turi energijos, turi ir masę. Kartais ši formulė yra blogai interpretuojama, nes sakoma, kad energija gali virsti mase ir atvirkščiai. Rimties masė gali virsti kitų rūšių energija. Dažniausiai ji virsta šviesa, kurios kvantai neturi rimties masės, tačiau masę turi.

[taisyti] Įrodymas

Panagrinėkime, kaip kinta kūno kinetinė energija, kai jį veikia jėga. Pradžioje kūnas greitėja, bet kai greitis priartėja prie šviesos greičio, tada greitis beveik nebekinta, o didėja kūno masė. Tai leidžia manyti, kad masė yra energijos forma. Pažymėkime kūno kinetinę energiją raide E_k. Tarkime, kad reliatyvumo teorijoje galioja energijos tvermės dėsnis.

$E_k= \int F dx = \int \frac{dp}{dt} dx = \int \frac{dx}{dt}dp = \int vdp$

v d p = d (p v) - p d v

$\int d(pv)=pv|_{0}^{v}=mv^2$

$E_k=mv^2-\int_{0}^{v} mvdv=mv^2-\int_{0}^{v}\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dv=mv^2+\Big(m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Big)\Big|_0^v=mv^2+m_{0}c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-m_{0}c^2$

$E_k=mv^2+mc^2(1-\frac{v^2}{c^2})-m_{0}c^2=mc^2-m_{0}c^2$

Dydį m_{0_{c^{2 ^{pavadinsime rimties energija. Tada gauname, kad:}}}}

_{^{$E = E 0 + E k = m c 2$}}

[taisyti] Energija ir judesio kiekis

Reliatyvistinių kūnų energija ir judesio kiekis:

$E = m_0 \gamma c^2 \,\!$

$p=m_0\gamma v \,\!$

Energiją ir judesio kiekį galime išreikšti vienas per kitą:

$E^2-(pc)^{2} = (m_0 c^2)^2 \,\!$

Judančio kūno kinetinė energija yra:

$E_k = m_0 c^2 (\gamma-1) \,\!$

Kai $v^2<<c^2 \,\!$ , tai ši formulė išskleidus Teiloro eilute susiveda į $E_k =\frac{mv^2}{2}$ .

[taisyti] Įrodymai

E = m c 2

$p=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$E^2=m^2c^4=m^2c^2v^2+m^2c^2(c^2-v^2)=p^2c^2+\frac{m_0^2c^4\Big(1-\frac{v^2}{c^2}\Big)}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Rightarrow E = m_{0}c^2+\frac{m_{0}v^2}{2}+\frac{3m_{0}v^4}{8c^2}+\frac{5m_{0}v^6}{16c^4}+\dots$

Galime atmesti visus narius pradedant trečiuoju, nes jie labai maži. Narys mc² nepriklauso nuo v. Tai yra kūno rimties energija. Likęs narys $\frac{mv^2}{2}$ ir yra kūno kinetinė energija. Faktas, kad esant mažiems greičiams gaunama klasikinė formulė, patvirtina specialiosios reliatyvumo teorijos teisingumą, nes tai yra bendresnė teorija už klasikinę mechaniką.

[taisyti] Lorenco laiko ir erdvės transformacijos

Besikeičiantis erdvės vaizdas išilgai didelį pagreitį turinčio stebėtojo pasaulio linijos.

Šioje animacijoje vertikali kryptis rodo laiką, o horizontali – atstumą, brūkšniuotoji linija yra stebėtojo erdvėlaikio trajektorija („pasaulio linija“). Diagramos apatinis ketvirtis rodo stebėtojui matomus įvykius, o viršutinis ketvirtis yra šviesos kūgis – tai, ką stebėtojas galės matyti. Maži taškai yra pasirenkami įvykiai erdvėlaikyje.

Pasaulio linijos krypties koeficientas yra santykinis greitis stebėtojo atžvilgiu. Atkreipkite dėmesį, kad kai stebėtojas juda su pagreičiu erdvėlaikis keičiasi.

Pačioje XIX a. pabaigoje buvo pastebėta, kad Maksvelio lygtys netenkina Galilėjaus transformacijų. 1904-ais metais Henrikas Antonas Lorencas įvedė kitą koordinačių ir laiko transformacijų sistemą tam, kad išspręstų atsiradusias problemas. Kitais metais tas pačias formules nepriklausomai išvedė Albertas Einšteinas iš savo dviejų postulatų.

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$x' = \gamma (x - v t)\,$

$y' = y\,$

$z' = z\,$

[taisyti] Priežastingumo principas

Šviesos kūgis

Vienam stebėtojui du įvykiai gali atrodyti vykstantys vienu metu, o kitam stebėtojui vienas įvykis gali atrodyti anksčiau ar vėliau už kitą. Diagramoje įvykis A yra anksčiau už įvykį C. Įvykis C gali vykti ir anksčiau už įvykį A arba vienu metu. Tačiau A ir C jau nebegali susisiekti, nes C jau nebėra stebėtojo A šviesos kūgyje ir atvirkščiai. Taigi priežastingumo principas lieka nepažeistas, nes nei A, nei C nėra vienas kito priežastis ir pasekmė. O įvykio priežastis bus visada tame pačiame šviesos kūgyje kaip ir pats įvykis.

[taisyti] Greičių sudėtis

Išvedinėjant dviejų lygiagrečių greičių sudėties formulę iš Lorenco transformacijų gaunamos reliatyvistinės greičių sudėties formulės:

${u^'}_x = \frac{(u_x - v)}{(1 - u_x v/c^2)}$	$u_x = \frac{({u^'}_x + v)}{(1 + {u^'}_x v/c^2)}$
${u^'}_y = \frac{u_y \sqrt{1 - v^2/c^2}}{(1 - u_x v/c^2)}$	$u_y = \frac{{u^'}_y \sqrt{1 - v^2/c^2}}{(1 + {u^'}_x v/c^2)}$
${u^'}_z = \frac{u_z \sqrt{1 - v^2/c^2}}{(1 - u_x v/c^2)}$	$u_z = \frac{{u^'}_z \sqrt{1 - v^2/c^2}}{(1 + {u^'}_x v/c^2)}$

Joks rimties masę turintis kūnas negali judėti šviesos greičiu. Jeigu jis judėtų šviesos greičiu, tai turėtų nulinį ilgį ir begalinę masę ir sustotų laikas. Taip tikrai negali būti, nes begalinės masės kūnas sunaikintų Visatą. Jeigu kūnas judėtų greičiau už šviesos greitį, tai jo rimties masė būtų kompleksinė. Tokie kūnai negalėtų judėti lėčiau už šviesos greitį. Kol kas neaptikta tokių kūnų, dar vadinamų tachionais, todėl abejojama dėl jų egzistavimo.

[taisyti] Niutono dėsnis

Klasikinis Niutono dėsnis reliatyvistiniu atveju nebegalioja, nes keičiasi kūno masė.

$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

Jeigu į klasikinę formulę $\vec{F}=m\vec{a}$ vietoj m įsistatysime $γ m 0$ , negausime teisingo rezultato. Teisinga formulė yra tokia:

$\vec F = \gamma m_0 \vec a + \gamma^3 m_0 \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v$

Kaip matome, jėgos ir pagreičio kryptis gali nesutapti reliatyvumo teorijoje.

[taisyti] Keturmatis erdvėlaikis

Specialiojoje reliatyvumo teorijoje naudojama Minkovskio geometrija. Specialioji reliatyvumo teorija erdvėlaikį laiko neiškreivėjusiu. Minkovskio geometrija panaši į paprastą Euklido geometriją, kur atstumas tarp dviejų taškų yra:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\,\!$

Minkovskio geometrijoje:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 + (i c dt)^2 \,\!$

Čia $i=\sqrt{-1}$ yra menamasis vienetas. $i^2=-1\,\!$ , todėl:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - (c dt)^2 \,\!$

Taigi reliatyvumo teorijoje invariantas yra ne erdvės intervalas, o erdv'laikio intervalas. Jis visuose atskaitos sistemose yra toks pat.

Koordinačių transformacijos tarp inertinių atskaitos sistemų pasiekiamos naudojant Lorenco transformacijų tenzorių Λ. Judėjimui x-ašies atžvilgiu:

$\Lambda^\mu{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Čia:

$\beta = \frac{v}{c}$
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Tai supaprastina daugumą specialiosios reliatyvumo teorijos formulių. Dauguma fizikinių dydžių yra tenzoriai. Tam, kad pereiti iš vienos atskaitos sistemos į kitą, naudojame tenzorių transformavimo dėsnį

$T^{\left[i_1',i_2',...i_p'\right]}_{\left[j_1',j_2',...j_q'\right]} = \Lambda^{i_1'}{}_{i_1}\Lambda^{i_2'}{}_{i_2}...\Lambda^{i_p'}{}_{i_p} \Lambda_{j_1'}{}^{j_1}\Lambda_{j_2'}{}^{j_2}...\Lambda_{j_q'}{}^{j_q} T^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}.$

Nagrinėkime keturi vektorių, užrašę jį atskirais komponentais:

$x_\nu=\left(-ct, x, y, z\right).$

Perėjimui iš sistemos S į sistemą S', atliekame šiuos veiksmus:

$\begin{pmatrix} ct'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = x'^{\mu}=\Lambda^\mu{}_\nu x^\nu= \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma ct - \gamma\beta x\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}.$

[taisyti] Reliatyvumas ir elektromagnetizmas

Specialioji reliatyvumo teorija yra susijusi su Maksvelio lygtimis, kuri sako, kad elektrinis laukas ir magnetinis laukas yra reliatyvūs ir kitoje atskaitos sistemoje bus kitokie. Todėl sakoma, kad yra elektromagnetinis laukas. Elektrinis laukas $[E_x,E_y,E_z]\,\!$ ir magnetinis laukas $[B_x,B_y,B_z]\,\!$ sujungiami į vieną elektromagnetinio lauko tenzorių:

$F_{\mu\nu} \equiv \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

Krūvio tankis $ρ$ ir srovės tankis $[J_x,J_y,J_z]\,\!$ sujungiami į krūvio-srovės keturmatį vektorių:

$J^\mu = \begin{pmatrix} \rho c\\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}.$

Maksvelio lygtys specialiojoje reliatyvumo teorijoje užrašomos tokia forma:

$\partial^\mu F_{\mu \nu} = \mu_0 J_{\nu}$	(Ampero-Gauso dėsnis)
$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu\lambda}+ \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0$	(Faradėjaus-Gauso dėsnis)