Maksvela diferenciālvienādojumi

Vikipēdijas raksts

Elektrodinamika
Elektrodinamikas pamatvienādojumi
1. Maksvela diferenciālvienādojumi
1.1. Integrālie Maksvela vienādojumi
2. Elektriskais lauks
2.1. Gausa teorēma (Elektriskā lauka plūsma)
2.2. Elektriskā lauka cirkulācija
2.3. Kulona likums
2.4. Elektriskā strāva
2.5. Strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.6. Nobīdes strāva
2.7. Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
2.8. Elektromagnētiskās indukcijas likums
3. Magnētiskais lauks
3.1. Magnētiskās indukcijas plūsma
3.2. Magnētiskās indukcijas cirkulācija
3.3. Lorenca spēks
4. Elektromagnētiskā lauka avoti
5. Delta funkcija

No Maksvela integrālajiem vienājumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam $V \$ , virsmai $S \$ un kontūram $l \$ var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus $\vec{E} \$ un $\vec{B} \$ katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus

$\begin{cases} \ rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \ div \vec{B} = 0 \end{cases} \$

$\begin{cases} \ rot \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ \ div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{cases} \$

, integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisājā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu parveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

[izmainīt šo sadaļu] Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums

Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma $\oint_l \vec{E} \mathrm{d} \vec{r} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d} t} \$ . Šeit plūsma $\Phi = \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} \$ ir aprēķināta virsmai $S \$ , kuru aptver noslēgts kontūrs $l \$ . Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu: $\oint_l \vec{E} \mathrm{d} \vec{r} = \int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \$ Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \$ . Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka $\int_S rot \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \$

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu

$rot \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \$

[izmainīt šo sadaļu] Otrais Maksvela diferenciālvienādojums

Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam $\oint_S \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = 0 \$ , proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu $S \$ ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam $V \$ $\int_V div \vec{B} \mathrm{d} V = 0 \$ . No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums

$div \vec{B} = 0 \$

[izmainīt šo sadaļu] Trešais Maksvela diferenciālvienādojums

Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai $\oint_l \vec{B} \mathrm{d} \vec{r} = \mu_0 (I + I_D) \$ , kur strāva $I = \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} \$ un vektora $\vec{E} \$ plūsma $N = \int_S \vec{E} \mathrm{d} \vec{S} \$ ir saķēdēta ar kontūru $l \$ , kas savukārt ietver virsmu $S \$ . Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai, $\oint_l \vec{B} \mathrm{d} \vec{r} = \int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S}$ . Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu $\vec{j} = \rho \vec{v} \$ , strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu $S \$ , kuras robežkontūrs $l \$ . Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka $\int_S rot \vec{B} \mathrm{d} \vec{S} = \mu_0 \int_S \vec{j} \mathrm{d} \vec{S} + \epsilon_0 \mu_0 \int_S \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \mathrm{d} \vec{S} \$ un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu