Delta funkcija

Vikipēdijas raksts

Elektrodinamika
Elektrodinamikas pamatvienādojumi
1. Maksvela diferenciālvienādojumi
1.1. Integrālie Maksvela vienādojumi
2. Elektriskais lauks
2.1. Gausa teorēma (Elektriskā lauka plūsma)
2.2. Elektriskā lauka cirkulācija
2.3. Kulona likums
2.4. Elektriskā strāva
2.5. Strāvas nepārtrauktības vienādojums
2.6. Nobīdes strāva
2.7. Elektriskā lādiņa nezūdamības likums
2.8. Elektromagnētiskās indukcijas likums
3. Magnētiskais lauks
3.1. Magnētiskās indukcijas plūsma
3.2. Magnētiskās indukcijas cirkulācija
3.3. Lorenca spēks
4. Elektromagnētiskā lauka avoti
5. Delta funkcija

Delta funkciju ( $\delta \$ funkciju) fizikā izmanto, lai raksturotu diskrētu punktveida lādiņu izvietojumu telpā. Šo funkciju teorētiskajā fizikā pirmais sāka izmantot ievērojamais angļu fiziķis Pols Adriens Moriss Diraks, viens no kvantu mehānikas pamatlicējiem. Tādēļ delta funkciju dažreiz sauc arī par Diraka delta funkciju. Tā pieder pie vispārinātajām funkcijām; tā nav nepārtraukta un diferencējama šo jēdzienu parastajā nozīmē. Tā ir ērta, ja, piemēram, jāaprēķina materiālo punktu sistēmu raksturojošie integrālie lielumi (pilnais lādiņš, elektriskā lauka intensitāte utt.).

[izmainīt šo sadaļu] Lādiņa blīvums

Shematiski parādīta delta funkcija (līnija ar bultiņu galā). Bultas augstums parāda funkcijas vērtību.

Pieņemsim, ka uz $x \$ ass punktā $x_0 \$ atrodas punktveida lādiņš $q \$ . Visos $x \$ ass punktos lādiņa blīvums $\rho (x) = 0\$ , izņemot punktu $x = x_0 \$ , kurā tas ir bezgalīgi liels, jo punktam nav tilpuma.

Lai gan funkcija $\rho (x) \$ nav nepārtraukta, to var izteikt matemātiski šādi:

$\rho (x) = q \delta (x - x_0) \$

kur

$\delta (x - x_0) = \begin{cases} \ 0, & x \ne x_0 \\ \infty, & x = x_0 \end{cases} \$

Vēl jābūt izpildītam šādam nosacījumam:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x - x_0) \mathrm{d} x = 1 \$ ,

kurš nepieciešams, lai iegūtu galīgu lielumu $q \$ .

$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho (x) \mathrm{d} x = q \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x - x_0) \mathrm{d} x = q \$

[izmainīt šo sadaļu] Vairāku lādiņu blīvums

Situācija ir līdzīga, ja uz $x \$ ass diskrētos punktos $x_i \$ izvietoti $n \$ punktveida lādiņi $q_i \$ un sistēmas pilnais lādiņš ir $q = \sum_{i=1}^n q_i \$ . Arī šādu lādiņu izvietojumu var izteikt ar $\delta \$ funkcijām $\delta (x - x_i) \$ .