Непрекинатост на функција
Од Википедија, слободна енциклопедија
Статии поврзани со математичката анализа |
Основна теорема на анализата |
Диференцијално сметање |
Извод од производ |
Интегрално сметање |
Таблица на основни интеграли |
Во математиката, концепт, или поточно, својство кое ги опишува функциите и нивното однесување во точка или околина. Тесно поврзан со поимот на непрекинатост е поимот гранична вредност на функција - лимес.
Структурно, концептот на непрекинатост на функција претставува своевиден вовед во ε-δ (епсилон-делта) излагањето на математичката анализа, практика која понатаму се обопштува на широка палета поими.
Изучувањето на непрекинатоста и непрекинатите пресликувања е од клучно значење за природните и техиничките науки зашто процесите во природата се одвиваат непрекнато.
Содржина |
[уреди] Дефиниција
Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар Августин Луј Коши. Неговата дефиниција е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:
Нека е даден интервал и функција определена (дефинирана) на него. Да избереме точка . Тогаш:
Фунцијата е непрекината во точката ако така што за секој за кој важи:
- важи и
Со строга математичка нотација:
Практично, тоа е следново: имаме интервал - , функција дефинирана на тој интервал - и произволна точка од тој интервал - . Фунцијата ќе биде непрекината во избраната точка ако: за секоја позитивна вредност - ε > 0, постои друга позитивна вредност δ > 0,δ = δ(ε) - зависна од првата таква што сликата на интервалот е подмножество од интервалот , т.е.
Ако функција не е непрекината во точка, тогаш велиме дека функцијата има прекин во таа точка.
Алтернативна дефиниција на непрекинатоста, со помош на лимеси, дал Хајне: функцијата е непрекината во точката ако за секоја низа (xn) од следи:
Оваа дефиниција е далеку попрактична од Кошиевата, но сепак зависи од дефиницијата и својствата на на друг поим: низа реални броеви.
[уреди] Примери
Ќе се послужиме со дефиницијата на непрекинатост за да испитаме непрекинатост на функција во точка.
- Пример 1: да се испита непрекинатоста на функцијата
За функцијата да е непрекината во точката мора за секој ε > 0 да постои вредност δ > 0, која зависи од изборот на ε и точката , таква што за секој истовремено важи .
Нека ε > 0 го избереме произволно и нека за некое δ > 0 (чија зависност од ε и треба да ја определиме!!!) е исполнето:
Тогаш следи:
Ако сега, бидејќи ε е произволен, вредноста на δ ја определиме како: тогаш важи:
од каде следи дека функцијата е непрекината во сите точки во кои е дефинирана, освен, можеби, во нулата.
- Пример 2: да се испита непрекинатост на функцијата на Дирихле која е зададена како:
Ќе разгледаме два случаја. Од математичката логика го имаме следново:
За функција да не е непрекината во точка треба да постои ε > 0 таков што за секој δ > 0 за кој важи , важи и
Прв случај: нека , нека избереме ε = 1 и нека δ > 0 e произволно. Тогаш постои ирационална точка т.е. ирационален број за кој е исполнето . Но тогаш следи:
што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки
Втор случај: постапката е слична како претходната: нека , нека избереме ε = 1 и нека δ > 0 e произволно. Тогаш постои рационална точка т.е. рационален број за кој е исполнето . Но тогаш следи:
што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) и во сите ирационални точки. Тогаш можеме да заклучиме дека функцијата на Дирихле има прекин во сите точки од својата дефинициона област.
[уреди] Рамномерна непрекинатост
Во математичката анализа се јавува уште еден поим: рамномерна непрекинатост на функција. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.
Нека е реална функција определена на интервалот . За функцијата се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот ако: за секој ε > 0, постои δ > 0 така што за сите точки за кои важи важи и .
Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:
- непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
- при разгледување на непрекинатост, изборот на величината δ зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот ε. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова δ треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од ε, односно да е фиксно за сите можни избори на точките ;
Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:
- Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
- Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.
[уреди] Пример
- Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата на симетричен интервал ( − M,M)
Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека ε > 0 е произволен и нека δ > 0 величина чија зависност од ε треба да ја утврдиме. Нека за точките важи: . Тогаш:
Ако сега за δ избереме вредност: , тогаш важи:
што значи дека функцијата е рамномерно непрекината на интервалот .
Забелешка: величината δ зависи само од изборот на ε и (полу)должината на интервалот - .
[уреди] Својства на непрекинатите функции
- Непрекината функција на затворен интервал е рамномерно непрекината на тој интервал;
- Непрекината функција на затворен интервал е ограничена на тој интервал;
- Збир, разлика, производ, количник и состав (композиција) од непрекинати функции, доколку постојат, се исто така непрекинати функции;
- Слика на (затворен) интервал при непрекинато пресликување е исто така (затворен) интервал;
- Слика на затворена крива при непрекинато пресликување е затворена крива
[уреди] Видете исто така
Статијата Непрекинатост на функција е пример меѓу одбраните статии. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите одбрана статија. |