Aftelbaarheidsaxioma

Van Wikipedia

Aan een topologische ruimte worden soms aanvullende voorwaarden opgelegd om sterkere eigenschappen te kunnen bewijzen. De aftelbaarheidsaxioma's zijn dergelijke voorwaarden, die alle te maken hebben met het bestaan van basissen die in zekere zin uit "weinig" open verzamelingen bestaan.

[bewerk] $A 1$

Een topologische ruimte $(X,\mathcal{T})$ heet eerste aftelbaar of $A 1$ als ieder punt een aftelbare lokale basis heeft:

$\forall x\in X,\exists\left\{V_n\in\mathcal{T}|n\in\mathbb{N}\right\},\forall U\in\mathcal{T}:x\in U\implies\exists n\in\mathbb{N}:x\in V_n\subset U$

[bewerk] $A 2$

Een topologische ruimte $(X,\mathcal{T})$ heet tweede aftelbaar of $A 2$ als ze een aftelbare basis heeft:

$\exists\left\{V_n\in\mathcal{T}|n\in\mathbb{N}\right\},\forall x\in X,\forall U\in\mathcal{T}:x\in U\implies\exists n\in\mathbb{N}:x\in V_n\subset U$

Dit is duidelijk sterker dan $A 1$ : elke tweede aftelbare ruimte is eerste aftelbaar.

[bewerk] Voorbeelden

Elke (topologie afkomstig van een) metrische ruimte is $A 1$ : neem bijvoorbeeld als lokale basis in $x\in X$ de open bollen met middelpunt $x$ en straal $1 / n$ :

$V_n:=B(x,{1\over n})\equiv\left\{y\in X|d(x,y)<{1\over n}\right\}$

Niet iedere metrische ruimte is $A 2$ , maar een compacte metrische ruimte is in elk geval wel $A 2$ : wegens compactheid kan de ruimte voor elke $n\in\mathbb{N}$ overdekt worden met een eindig aantal open bollen met straal $1 / n$ ; de vereniging van deze open bollen voor alle $n$ vormt een aftelbare basis.

De reële getallen, en algemener $\mathbb{R}^n$ , zijn eveneens $A 2$ . Neem bijvoorbeeld als aftelbare basis de open intervallen (in $\mathbb{R}^n$ : cartesische producten van open intervallen) waarvan de eindpunten rationale getallen zijn.

[bewerk] Metriseerbaarheid

Het eerste voorbeeld hierboven is niet toevallig gekozen. Onder de topologische ruimten worden degenen die van metrische ruimten afkomstig zijn, gekenmerkt door bijzondere scheidingsaxiomas en aftelbaarheidsaxiomas. De hoofdstelling in dit verband is genoemd naar Smirnov, Nagata en Bing, en ze karakteriseert volledig de metriseerbare topologische ruimten:

Een topologische ruimte is metriseerbaar als en slechts als ze normaal is en beschikt over een sigma-lokaal-eindige basis.

Voor een topologische vectorruimte is $A 1$ reeds voldoende om metriseerbaarheid te garanderen.

[bewerk] $A σ$

Het hebben van een sigma-lokaal-eindige basis is een scheidingsaxioma dat tussen $A 1$ en $A 2$ in ligt:

$A_2\implies A_\sigma\implies A_1$

[bewerk] Stelling van Urysohn

De stelling van Urysohn is ouder dan de stelling van Smirnov-Nagata-Bing, en behandelt een bijzonder geval:

Als een topologische ruimte

A 2

en normaal is, dan is de topologie afkomstig van een metriek.

Categorie: Topologie

Aftelbaarheidsaxioma

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] $A 1$

[bewerk] $A 2$

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Metriseerbaarheid

[bewerk] $A σ$

[bewerk] Stelling van Urysohn

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

Aftelbaarheidsaxioma

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] A1

[bewerk] A2

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Metriseerbaarheid

[bewerk] Aσ

[bewerk] Stelling van Urysohn

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

[bewerk] $A 1$

[bewerk] $A 2$

[bewerk] $A σ$