Topologische ruimte

Van Wikipedia

Een topologische ruimte is een verzameling met een zodanige structuur dat er continue afbeeldingen (functies) op kunnen worden gedefinieerd. De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met topologische ruimten en continue afbeeldingen daartussen is de topologie.

Inhoud 1 Definitie 2 Voorbeelden 3 Alternatieve karakteriseringen 4 Basis 5 Bijzondere soorten ruimten

[bewerk] Definitie

Een topologische ruimte is een verzameling X samen met een collectie van deelverzamelingen van X, open verzamelingen genoemd, die aan de volgende axioma's voldoen:

1. (de lege verzameling) en X zijn open.
2. De vereniging van willekeurig veel open verzamelingen is open.
3. De doorsnede van twee open verzamelingen is open.

Een dergelijke collectie open verzamelingen wordt een topologie op X genoemd. Het geordend paar wordt dan een topologische ruimte genoemd. Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

[bewerk] Voorbeelden

Voorbeelden van topologische ruimten zijn:

• Een willekeurige metrische ruimte X, waarbij O bestaat uit de deelverzamelingen S van X waarvan elk punt een inwendig punt is, dat wil zeggen dat er voor alle x in S een ε > 0 bestaat zodanig dat elk punt van X dat afstand kleiner dan ε tot x heeft zelf ook weer in O ligt. (Voor willekeurige topologische ruimten geldt trouwens dat een verzameling open is dan en slechts dan als elk punt ervan een inwendig punt van die verzameling is.)
• Precies dezelfde constructie blijft opgaan voor een pseudometrische ruimte.
• Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen alleen en X. De topologie die alleen uit deze twee verzamelingen bestaat, heet de triviale topologie.
• Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen alle deelverzamelingen van X. Ruimten met deze topologie heten discrete topologische ruimten; een eindige deelverzameling van Rⁿ is een voorbeeld van een discrete ruimte.
• Een willekeurige verzameling X met als open verzamelingen de lege verzameling, plus alle verzamelingen waarvan het complement eindig is. Dit heet de cofiniete topologie. Als X zelf een eindige verzameling is, dan is de cofiniete topologie dezelfde als de discrete topologie.
• Zij R een commutatieve ring en Spec(R) het spectrum van R (dit is de verzameling priemidealen van R). Spec(R) is dan een topologische ruimte met als gesloten verzamelingen de verzamelingen van de vorm met I een ideaal van R. Deze topologische ruimte is compact, en de zojuist gedefinieerde topologie heet de Zariskitopologie.

[bewerk] Alternatieve karakteriseringen

De topologische structuur van X kan ook worden vastgelegd door één van de volgende elementen te specificeren:

1. welke delen van X zijn gesloten verzamelingen
2. wat is de afsluiting van elk deel van X
3. wat is het inwendige van elk deel van X

[bewerk] Basis

Een basis voor een topologische ruimte is een collectie open verzamelingen van X met de eigenschap dat iedere andere open verzameling van X kan geschreven worden als een vereniging van elementen van de basis. Topologische ruimten zijn eenvoudiger te bestuderen als ze beschikken over een basis met een beperkt aantal elementen (bijvoorbeeld aftelbaar), zelfs als de collectie van alle open verzamelingen veel groter is.

De metrische ruimte Rⁿ (met de gewone Euclidische afstandsfunctie) heeft overaftelbaar veel open verzamelingen, maar er bestaan aftelbare basissen - bijvoorbeeld: de open bollen met rationale straal en rationale coördinaten van het middelpunt.

[bewerk] Bijzondere soorten ruimten

Men onderscheidt bijzondere categorieën van topologische ruimten naargelang van de mogelijkheid om punten en verzamelingen onderling te scheiden door open verzamelingen: de scheidingsaxioma's (in volgorde van oplopende strengheid) T₀, T₁, T₂, T₃, T_3.5 en T₄.

Men kan ruimten ook indelen naargelang van het bestaan van basissen met een "klein" aantal open verzamelingen: de aftelbaarheidsaxioma's A₁ en A₂.

Andere eigenschappen die een ruimte 'hanteerbaarder' maken zijn: compactheid en separabiliteit.