Metrische ruimte

Van Wikipedia

In de wiskunde verstaat men onder metrische ruimte een verzameling waarin een begrip afstand of metriek bestaat. Van twee verschillende elementen van zo'n verzameling kan de afstand ertussen bepaald worden. Het begrip afstand is daarbij zo gegeneraliseerd dat het de voor afstand kenmerkende eigenschappen heeft behouden. Sommige verzamelingen laten als afstand slechts de triviale discrete metriek toe, andere kennen meer dan één afstandsbegrip.

Inhoud

1 Definitie
2 Voorbeelden
3 Discrete metriek
4 Verband met een norm
5 Verband met topologie
6 Equivalentie van metrieken
- 6.1 Voorbeeld
7 Begrensde metriek
- 7.1 Voorbeeld

[bewerk] Definitie

Een metrische ruimte is een verzameling V samen met een afbeelding $d: V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ , metriek of afstand geheten, die aan de volgende axioma's voldoet:

voor willekeurige $x, y, z \in V$ geldt:

$d(x,y) \ge 0\,$ (niet-negativiteit).
$d(x,y) = 0\,\Leftrightarrow x=y$ (scheidingseigenschap).
$d(x,y) = d(y,x)\,$ (symmetrie).
$d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)\,$ (de driehoeksongelijkheid).

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet d een pseudometriek.

[bewerk] Voorbeelden

Een belangrijk voorbeeld van een metrische ruimte is $\mathbb{R}^n$ met de Euclidische afstandsfunctie of de gewone metriek:

$d(x,y)=\| x-y\|\,$ ,

waarbij

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\,$ voor $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\,$ .

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen $\mathbb{C}$ met:

$d(x,y)=|x-y|\,$ (de modulus van x-y).

Een ander voorbeeld van een metrische ruimte is $\mathbb{Z}^n$ met de 'Manhattan blokmetriek':

$d(x,y)= |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n|\,$ .

Deze metriek dankt zijn naam aan het twee-dimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

De discrete metriek

[bewerk] Discrete metriek

Op iedere willekeurige verzameling $V$ is de afbeelding $d:V\times V$ die elk identiek puntenpaar $(x, x)$ op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar $(x, y)$ op 1, een metriek. Men noemt dit de discrete metriek. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

[bewerk] Verband met een norm

De eerste twee voorbeelden hierboven hebben gemeen dat de verzameling $V$ telkens een reële of complexe vectorruimte is, waarin de afstandsfunctie geïnduceerd wordt door een of andere norm $\|.\|$ , d.w.z.

$d(x,y)=\|x-y\|$ .

Algemeen maakt deze constructie van elke genormeerde ruimte een metrische ruimte. Als de aldus ontstane metrische ruimte volledig is, noemt men de genormeerde ruimte een Banachruimte.

[bewerk] Verband met topologie

In een metrische ruimte induceert de metriek ook een topologie voortgebracht door de open bollen. De open bol B(a,ρ) om het punt a met straal ρ > 0 bestaat uit de punten die op een kleinere afstand dan ρ van aliggen:

$B(a,\rho)=\{x\in V| \ d(a,x)<\rho\}\,$

Met deze topologie is iedere metrische ruimte een topologische ruimte. Niet elke topologie is echter afkomstig van een metriek.

[bewerk] Equivalentie van metrieken

Twee metrieken op een verzameling $V$ $d 1$ en $d 2$ zijn equivalent als en slechts als er een $M 1$ en $M_2 \in \mathbb{R}$ bestaan zodat:

$\forall x,y \in V: d_1(x,y) \leq M_1 d_2(x,y)$ en $\forall x,y \in V: d_2(x,y) \leq M_2 d_1(x,y)$

Equivalente metrieken impliceren dat in beide metrische ruimten dezelfde verzamelingen open zijn (en dus dezelfde ook gesloten zijn), ook definiëren equivalente metrieken dezelfde convergente rijen.