Categorie (topologie)
Van Wikipedia
De wiskundige René-Louis Baire gebruikte de benaming categorie om het onderscheid te maken tussen twee soorten deelverzamelingen van een topologische ruimte.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Zij X een topologische ruimte. Een deelverzameling D van X is van de eerste categorie (ook wel: mager) als ze de vereniging is van een aftelbaar aantal delen van X die elk afzonderlijk een afsluiting met leeg inwendige hebben:
Alle andere deelverzamelingen van X behoren tot de tweede categorie (ook: niet-mager).
Opgelet: de categorie is geen intrinsieke topologische eigenschap van D, ze hangt af van de ruimte X.
[bewerk] Gevolgen
- Een deel van een magere verzameling is mager.
- Een aftelbare vereniging van magere verzamelingen is mager.
- Een gesloten verzameling met leeg inwendige is mager.
[bewerk] Voorbeeld
De reële getallen zijn niet mager in zichzelf (maar wel in de complexe getallen). Voor het bewijs hiervan gebruikt men best de stelling van Baire (zie verder).
[bewerk] Stelling van Baire
(ook: de categoriestelling)
Volledige metrische ruimten en lokaal compacte Hausdorffruimten zijn van de tweede categorie in zichzelf.
