Tweelingcirkels van Archimedes
Van Wikipedia
De tweelingcirkels van Archimedes zijn cirkels in de arbelos.
Noem het raakpunt van de twee kleine halve cirkels C, en noem het punt waar de raaklijn door C aan deze kleine halve cirkels de grote halve cirkel snijdt D. CD deelt de arbelos in twee delen. Door Archimedes werd aangetoond dat de ingeschreven cirkel van deze twee delen congruent zijn.
[bewerk] Bewijs van congruentie
Laat in de figuur hiernaast r1 de straal zijn van de cirkel met diameter AC en middelpunt M, r2 van de cirkel met diameter BC, en r=r1+r2 van de cirkel met diameter AB en middelpunt O. XX' staat loodrecht op BC. Noem de straal van de Archimedische cirkel R.
Merk op dat
- XM = r1 + R
- X'M = r1 - R
- XO = r + R
- X'O = r2 - R
Uit de stelling van Pythagoras volgt dat X'X2 = XM2 − X'M2 = XO2 − X'O2 zodat
- (r1 + R)2 − (r1 − R)2 = (r1 + r2 + R)2 − (r2 − R)2
- 4r1R = 4r1r2 − 4r2R
Uit de symmetrie in r1 en r2 volgt de congruentie van de tweelingcirkels.
[bewerk] Eigenschappen
- De cirkel die precies om de tweelingcirkels van Archimedes heen past heeft oppervlakte gelijk aan die van de arbelos zelf.
- De gemeenschappelijke raaklijn van een tweelingcirkel en een van de kleine halve cirkels gaat door het derde hoekpunt van de arbelos. De afstand van dat derde hoekpunt tot het raakpunt is gelijk aan de afstand tot D.
