Afstand

Van Wikipedia

Afstand is een algemeen begrip voor de ruimte tussen niet samenvallende zaken. Zo kan men zelfs spreken van een sociale afstand tussen bevolkingsgroepen. Als die ruimte gemeten kan worden, verstaat men onder afstand de maat van die ruimte. Het hangt daarbij van de toepasbare meetkunde af, hoe afstand gedefinieerd is. Denk als voorbeeld aan een stad en de afstand die een auto moet afleggen om van een punt A naar een punt B te gaan. De afgelegde weg zal in veel gevallen geen rechte lijn zijn en ook is het heel goed mogelijk dat de afstand van A naar B anders is dan de afstand van B naar A. Algemeen is de afstand van het punt A naar het punt B het aantal keren dat een standaardmaat afgepast kan worden op de kortste verbindingsweg van A naar B. Als standaardmaat wordt voor lengtemetingen de SI-eenheid meter genomen.

Inhoud

1 Afstand in de gewone meetkunde
- 1.1 Afstand tussen een punt en een lijn
2 Afstand in gekromde ruimten
- 2.1 Afstand tussen twee punten op een bol
3 Veralgemening
4 Tabel met enkele afstanden in de natuur

[bewerk] Afstand in de gewone meetkunde

In de gewone (Euclidische) meetkunde is de korste verbindingsweg een rechte lijn en kan de afstand worden berekend als de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten, volgens de stelling van Pythagoras.

In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand d tussen de punten $p 1 = (x 1, y 1)$ en $p 2 = (x 2, y 2)$

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.$

In drie dimensies geldt analoog

$d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}.$

Zijn de punten $p 1 = (x 1, y 1, z 1)$ en $p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door

$d = \sqrt{S_A\cdot(x_1-x_2)^2 + S_B\cdot(y_1-y_2)^2 + S_C\cdot(z_1-z_2)^2}.$

[bewerk] Afstand tussen een punt en een lijn

De afstand tussen een punt $P = (x p, y p)$ en een lijn l door de punten $(x 0, y 0)$ en $(x 1, y 1)$ , is:

$d(P,l) = \sqrt{(x_p - x_0 - \lambda _q x_1)^2 + (y_p - y_0 - \lambda _q y_1)^2}$

met

$\lambda _q = \frac{x_1(x_p - x_0) + y_1(y_p - y_0)}{x_1^2 + y_1^2}$

[bewerk] Afstand in gekromde ruimten

In de differentiaalmeetkunde wordt de afstand tussen twee punten gemeten aan de hand van de lengte van krommen, meer bepaald: het infimum van de lengten van alle krommen die twee punten verbinden. Hiervoor wordt aangenomen dat tussen elk paar punten minstens een kromme bestaat, dus we bevinden ons in een (weg)samenhangende Riemannse variëteit.

Als een bepaalde kromme de kortste verbinding tussen twee punten legt, dan is die kromme noodzakelijk een geodeet.

[bewerk] Afstand tussen twee punten op een bol

De afstand tussen twee punten P en Q op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel (dus over het oppervlak van de bol, niet er doorheen) is:

$d(P,Q) = 2R \cdot \arcsin \frac 12 \sqrt{(\cos \beta _Q \cos \alpha _Q - \cos \beta _P \cos \alpha _P)^2 + (\cos \beta _Q \sin \alpha _Q - \cos \beta _P \sin \alpha _P)^2 + (\sin \beta _Q - \sin \beta _P)^2}$

hierin is R de straal van de bol, $α$ de hoek in het equatoriale vlak en $β$ de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.

[bewerk] Veralgemening

Vele afstandsbegrippen (maar niet alle - zie inleiding) hebben de volgende abstracte eigenschappen gemeen:

geen enkel object heeft een echte afstand tot zichzelf
de afstand tussen twee objecten is onafhankelijk van de volgorde waarin die objecten beschouwd worden
de rechtstreekse afstand tussen twee objecten is nooit langer dan de onrechtstreekse afstand via een derde object

Deze axioma's geven aanleiding tot het abstracte begrip pseudometriek. Als men bovendien aanneemt dat tussen elk paar verschillende objecten een positieve afstand bestaat, dan bekomt men een metrische ruimte.

[bewerk] Tabel met enkele afstanden in de natuur

lengte (m)	voorbeeld (orde-grootte)
$10 - 35$	kleinste lengte (Plancklengte of kwantumlengte)
$10 - 15$	diameter proton en neutron
$10 - 10$	diameter van een atoom
$10 - 4$	dikte van papier
$100$	een stap
$102$	gemiddelde diepte van de Noordzee
$104$	diepte van de diepste oceanische trog
$106$	dikte van de dampkring
$107$	diameter van de Aarde
$108$	diameter van Saturnus
$109$	diameter van de zon
$1011$	afstand van de Aarde tot de zon
$1012$	afstand van Saturnus tot de zon
$1013$	doorsnede van ons zonnestelsel (gerekend t/m Pluto)
$1016$	lichtjaar
$1017$	afstand tot de ster Sirius
$1021$	doorsnede van de melkweg
$1023$	lengte van de stralenbundels van sterrenstelsel 3C 236
$1026$	afstand tot het verste bekende object in het heelal

{{{afb_links}}}	Belangrijke begrippen in de mechanica	{{{afb_rechts}}}	{{{afb_groot}}}
Vector - Afstand - Eenparige beweging - Verplaatsing - Snelheid - Versnelling - Stoot - Impuls - Hoeksnelheid - Hoekversnelling - Impulsmoment			{{{afb_groot}}}

Categorieën: Meetkunde | Grootheid

Afstand

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Afstand in de gewone meetkunde

[bewerk] Afstand tussen een punt en een lijn

[bewerk] Afstand in gekromde ruimten

[bewerk] Afstand tussen twee punten op een bol

[bewerk] Veralgemening

[bewerk] Tabel met enkele afstanden in de natuur

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen