Sentrifugalkraft

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Sentrifugalkraft er eit uttrykk som kan referere til to forskjellige krefter, som begge er relatert til rotasjon. Begge er orientert bort frå rotasjonsaksen, men lekamen dei virkar på er forskjellig.

Ei verkeleg eller reaktiv sentrifugalkraft oppstår som ein reaksjon på ein sentripetalakselerasjon som virkar på ein masse. Denne sentrifugalkrafta er like stor som sentripetalkrafta, retta bort frå rotasjonssenteret og virkar på den roterande lekamen av lekamen som skapar sentripetalakserlasjonen. Sjølv om dette vart observert av Isaac Newton^[1], vert det berre av og til brukt i moderne diskusjonar.^[2]^[3]^[4]^[5]
Ei fiktiv sentrifugalkraft oppstår når eit roterande referansesystem vert brukt i utrekningar. Den (verkelege) akselerasjonen i systemet vert bytta ut med ei (fiktiv) sentrifugalkraft som virkar på alle lekamar, og er retta bort frå rotasjonsaksen.

Begge desse versjonane kan ein lett observere som passasjer i ein bil. Visst bilen svingar vil passasjeren bli pressa utover mot døra av bilen og utkanten av svingen.

I referansesystemet som roterar i lag med bilen ser det ut til at ei kraft pressar passasjeren bort frå senteret av svingen. Dette er ei fiktiv kraft, og ikkje ei faktisk kraft som kjem av ein annan lekam. Illusjonen oppstår når referansesystemet er bilen, fordi det ikkje tek med akselerasjonen til bilen. Ofte kan det derimot gje enklare utrekningar å setje referansesystemet slik at ein kan ta med dei fiktive kreftene og omhandle dei som «verkelege» krefter.

Krafta som passasjeren vert pressa mot døra av er likevel verkeleg. Denne krafta vert kalla ei reaksjonskraft, fordi bilen virkar mot kroppen til passasjeren. Sidan krafta er retta utover er det ei sentrifugalkraft. Merk at denne verklege sentrifugalkrafta ikkje oppstår før personen rører bilen. Bilen utøver òg ei like stor og motsett retta kraft på personen kalla sentripetalkrafta. Sentrifugalkrafta vert kansellert av sentripetalkrafta og nettokrafta er lik null, slik at personen ikkje akslererer i forhold til bilen.

Innhaldsliste

1 Reaktiv sentrifugalkraft
2 Roterande referansesystem
- 2.1 Utleiing
3 Sjå òg
4 Kjelder

[endre] Reaktiv sentrifugalkraft

Sett frå eit tregleikssystem er bruken av Newtons rørslelover enkel. Passasjeren sin tregleik motverkar akselerasjonen, og hindrar passasjeren i å flytte seg med konstant fart og retning når bilen byrjar og svinge. Frå dette synspunktet flyttar ikkje passasjeren seg mot utsida av banen bilen følgjer, men i staden svingar banen til bilen for å møte passasjeren.

Når bilen kjem i kontakt med passasjeren vil han utøve ei sidevegs kraft for å akselerere han eller ho rundt svingen i lag med bilen. Denne krafta vert kalla ei sentripetalkraft, fordi vektoren endrar retning og peikar innover mot midten av svingen.

Viss bilen virkar på passasjeren, så må passasjeren virke tilbake på bilen med ei like stor og motsett retta kraft. Sidan denne krafta er motsett er den retta bort frå senteret, og derfor kalla sentrifugal (fugal tyder flukt på latin). ^[6] Det er svært viktig å forså at sentrifugalkrafta virkar på bilen, og ikkje passasjeren.

Den sentrifugale reaksjonskrafta med passasjeren virkar mot bildøra og er gjeve ved:

$\mathbf{F}_\mathrm{sentrifugal} \,$	$= - m \mathbf{a}_\mathrm{sentripetal} \,$
	$= m \omega^2 \mathbf{r}_\perp \,$

der $m\,$ er massen til den roterande lekamen.

Den reaktive sentrifugalkrafta^[7] er så «verkeleg» som den kan bli, sidan ho kan opne bildøra. Ho vert derimot sjeldan brukt i moderne diskusjonar. ^[8]^[9]

[endre] Roterande referansesystem

Tregleikssystemet er det verkelege systemet der mekanikklovene gjeld. Når ein brukar eit roterande referansesystem vert dei fysiske lovene uttrykt annleis. Vi tenkjer oss at vi har konstant rotasjonsfart:

$\mathbf{a}_\mathrm{rot}\,$	$=\mathbf{a} - 2\mathbf{\omega \times v} - \mathbf{\omega \times (\omega \times r)} \,$
	$=\mathbf{a + a_\mathrm{coriolis} + a_\mathrm{sentrifugal}} \,$

der $\mathbf{a}_\mathrm{rot}\,$ er akslerasjonen relativt til det roterande systemet, $\mathbf{a}\,$ er akselerasjonen i forhold til tregleikssystemet, $\mathbf{\omega}\,$ er vinkelfartsvektoren som skildrar rotasjonen i referansesystemet, $\mathbf{v}\,$ er farten til lekamen relativt til det roterande referansesystemet, og $\mathbf{r}\,$ er ein vektor frå eit vilkårleg punkt på rotasjonsaksen til lekamen. Ei utleiing finn ein artikkelen om fiktiv kraft.

Det siste leddet er sentrifugalakserlasjonen, så då har vi:

$\mathbf{a}_\textrm{sentrifugal} = - \mathbf{\omega \times (\omega \times r)} = \omega^2 \mathbf{r}_\perp$

der $\mathbf{r_\perp}$ er komponenten av $\mathbf{r}\,$ perpendikulært på rotasjonsaksen.

[endre] Utleiing

Viss vi har to referansesystem, eit tregleikssystem og eit roterande system med konstant vinkelfart $\vec \omega$ , vert ein tidsderivert av ein vektor i referansesystemet, $\left ( \frac{d}{dt} \right ) _r$ transformert til den tidsderiverte i tregleikssystemet $\left ( \frac{d}{dt} \right ) _i$ ut i frå forholdet:

$\left ( \frac{d}{dt} \right ) _i = \left ( \frac{d}{dt} \right ) _r + \vec \omega \times$

Dette forholdet er eitt av to operatorar. Akselerajson er den andrederiverte av posisjonen med omsyn på tida. Så ved å gjere transformasjonen over til ein posisjonsvektor $\vec r$ får ein:

$\dot \vec r_i = \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _i = \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \vec r$

Ved å setje $\dot \vec r_i$ tilbake i transformasjonen får ein:

$\ddot \vec r_i = \left ( \frac{d \dot \vec r}{dt} \right ) _i = \left ( \frac{d \dot \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \dot \vec r$

$\ddot \vec r_i = \left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right ) _i = \left ( \frac{d}{dt} \right ) _r \left ( \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \vec r \right ) + \vec \omega \times \left ( \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \vec r \right )$

Fordi $\vec \omega$ er ein konstant vektor, altså at det roterande systemet roterar konstant i same retninga, så er den tidsderiverte lik null. Ein får då:

$\ddot \vec r_i = \left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right ) _i = \left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right ) _r + \omega \times \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \vec \omega \times \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \omega \times \vec r$

$\ddot \vec r_i = \left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right ) _i = \left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right ) _r + 2 \vec \omega \times \left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r + \omega \times \omega \times \vec r$

Til slutt, ved å setje inn $\vec a$ for $\left ( \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \right )$ og $\vec v_r$ for $\left ( \frac{d \vec r}{dt} \right ) _r$ , får vi følgjande:

$\vec a_i = \vec a_r + 2 \vec \omega \times \vec v_r + \vec \omega \times \left ( \vec \omega \times \vec r \right )$

Flyttar vi ledd over på andre sida, men reverserer eit kryssprodukt i kvart ledd, finn ein:

$\vec a_r = \vec a_i + 2 \vec v_r \times \vec \omega + \vec \omega \times \left ( \vec r \times \vec \omega \right )$

Dette viser oss at $\vec a_r$ , akslerasjonen til ein lekam ved $\vec r$ observert av nokon i ro i eit roterande systemet, er lik akselerasjonen, $\vec a_i$ observert frå ein person i tregleikssystemet som ikkje roterar, pluss $2 \vec v_r \times \vec \omega$ , som er corioliseffekten sin medverknad til akslerasjonen, og $\vec \omega \times \left ( \vec r \times \vec \omega \right )$ , som er sentrifugalakselerasjonen.