Aksjomat determinacji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Aksjomat determinacji - zdanie w teorii mnogości postulujące zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak aksjomat AD, którego nie można udowodnić na gruncie aksjomatów ZF i który implikuje, że aksjomat wyboru jest fałszywy. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W dalszej części tego artykułu będziemy używać oznaczeń i definicji wprowadzonych w artykule o grach nieskończonych.

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Aksjomat i jego wersje
- 2.1 Definicje wstępne
- 2.2 Aksjomaty determinacji
3 Konsekwencje
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

Pierwsza gra nieskończona była opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
W 1962, polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus^[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego^[2]^[3]^[4].
W 1969, Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem analitycznym, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana^[5].
W 1975, Martin wykazał, że jeśli $A\subseteq \omega^\omega$ jest zbiorem borelowskim, to gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana^[6]^[7].
W końcu lat 80. XX wieku, Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane^[8]^[9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu ${\mathbf P}_{\rm max}$ , które okazało się być kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal H}(\omega_2),\in,I_{NS}$ ) przy założeniu AD w ${\mathbf{L}}({\mathbb R})$ (gdzie $I N S$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $ω 1$ , a ${\mathcal H}(\omega_2)$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $< ω 2$ )^[10].

[edytuj] Aksjomat i jego wersje

[edytuj] Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

Niech ${\mathcal X}$ będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech $A\subseteq {\mathcal X}^\omega$ . Gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$ o wyrazach w ${\mathcal X}$ w taki sposób, że po tym jak już $\eta\upharpoonright n=\langle\eta(k):k<n\rangle$ zostało wybrane, to

jeśli

n

jest parzyste, to gracz I wybiera

η(n)

, a

jeśli

n

jest nieparzyste, to gracz II wybiera

η(n)

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg $\eta=\langle\eta(n):n\in\omega\rangle\in {\mathcal X}^\omega$ , powiemy że gracz I wygrał partię η jeśli $\eta\in A$ .

Strategia dla gracza I to funkcja $\sigma:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k}\longrightarrow {\mathcal X}$ . Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią σ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k)=\sigma(\eta\upharpoonright 2k))$ . Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w $\Game^{\mathcal X}(A)$ jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru A.
Strategia dla gracza II to funkcja $\tau:\bigcup\limits_{k\in\omega} {\mathcal X}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal X}$ . Powiemy, że ciąg $\eta\in {\mathcal X}^\omega$ jest zgodny ze strategią τ jeśli $(\forall k\in\omega)(\eta(2k+1)=\tau(\eta\upharpoonright (2k+1)))$ . Strategia τ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w $\Game^{\mathcal X}(A)$ jeśli żaden ciąg η zgodny z τ nie należy do zbioru A.
Powiemy że gra $\Game^{\mathcal X}(A)$ jest zdeterminowana jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

[edytuj] Aksjomaty determinacji

Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

Aksjomat determinacji rzeczywistej ${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq {\mathbb R}^\omega$ gra $\Game^{\mathbb R}(A)$ jest zdeterminowana

(gdzie ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego $A\subseteq \omega^\omega$ gra $\Game^\omega(A)$ jest zdeterminowana.

[edytuj] Konsekwencje

${\bold{AD}}_{\mathbb R}$ implikuje AD.
Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:

Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
Dla każdego $x\subseteq\omega$ , $\aleph_1$ jest liczbą nieosiągalną w ${\bold{L}}[x]$ .
$\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
$\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:

Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire'a.
Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue'a.
Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.

Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to

${\bold{L}}({\mathbb R})\models {\bold{AD}}$ oraz
PD jest prawdziwe.

Teoria "ZF+AD" jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria "ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina".

[edytuj] Bibliografia

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. "Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys." 10 (1962), s. 1-3
↑ Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae". 54 (1964), s. 67-71.
↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. "Fundamenta Mathematicae" 53 (1963/1964), s. 205-224.
↑ Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II. "Fundamenta Mathematicae" 59 (1966), s. 203-212
↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
↑ Martin, Donald A.: Borel determinacy. "Ann. of Math." (2) 102 (1975), nr 2, s. 363-371.
↑ Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy. "Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)", Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303-308.
↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.
↑ Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. "de Gruyter Series in Logic and its Applications", 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ISBN 3-11-015708-X