Zbiór stacjonarny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W teorii mnogości, zbiory stacjonarne i cluby to podzbiory liczb kardynalnych (traktowanych jako liczby porządkowe) które są w pewnym sensie duże.

Spis treści

1 Definicje
2 Własności i przykłady
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Niech $κ$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

Powiemy, że zbiór $C\subseteq\kappa$ jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na $κ$ , który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby $α < κ$ mamy

$(\forall\beta<\alpha)(\exists \gamma\in C)(\beta<\gamma<\alpha)\quad\Rightarrow\ \alpha\in C$ .

Zbiór $C\subseteq\kappa$ jest nieograniczony w $κ$ jeśli $(\forall\alpha<\kappa)(\exists \beta\in C)(\alpha<\beta)$ .
Powiemy, że zbiór $C\subseteq\kappa$ jest clubem w $κ$ jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
Zbiór $S\subseteq\kappa$ jest stacjonarnym podzbiorem $κ$ , jeśli $C\cap S\neq \emptyset$ dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru $C\subseteq\kappa$ .
Zbiór $S\subseteq\kappa$ jest niestacjonarnym podzbiorem $κ$ , jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy $C\cap S=\emptyset$ dla pewnego cluba $C\subseteq\kappa$ .

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (np taka nazwa używana jest w monografii Kunena^[1])

[edytuj] Własności i przykłady

Niech $κ$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż $κ$ jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych $α < κ$ o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem $κ$ .
Dla każdej funkcji $g:\kappa\longrightarrow\kappa$ , zbiór $\{\delta<\kappa:(\forall\alpha<\delta)(g(\alpha)<\delta)\}$ jest clubem w $κ$ .
Jeśli ${\mathcal C}$ jest rodziną clubów na $κ$ , $|{\mathcal C}|<\kappa$ , to przekrój $\bigcap {\mathcal C}$ też jest clubem.
Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina

$\{A\subseteq \kappa:C\subseteq A$ dla pewnego cluba $C\subseteq\kappa\}$

jest

κ

-zupełnym filtrem podzbiorów

κ

Rodzina ${\mathcal{NS}}_\kappa$ wszystkich niestacjonarnych podzbiorów

κ

tworzy

κ

-zupełny ideał podzbiorów

κ

Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem $κ$ oraz $f:S\longrightarrow\kappa$ jest funkcją taką że $(\forall\alpha\in S\setminus\{0\})(f(\alpha)<\alpha)$ , to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem $κ$ , to istnieje funkcja $f:S\longrightarrow\kappa$ taka że $(\forall\alpha\in S\setminus\{0\})(f(\alpha)<\alpha)$ która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)

[edytuj] Bibliografia

↑ Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp. ISBN 0-444-85401-0