Struktura matematyczna
Z Wikipedii
Struktura matematyczna (Model) - (algebra) jest pewnym przybliżeniem rzeczywistości matematycznej. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlatego każdą strukturę M musimy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka L. Mówimy wtedy, że M jest modelem (strukturą) dla języka L.
Często spotyka się rozróżnienie w rozumieniu znaczenia terminów model i struktura matematyczna (system semantyczny). Wówczas termin model jest tożsamy tylko z uniwersum.
Szczególnym przypadkiem struktur matematycznych są struktury algebraiczne, tzn struktury dla języka, w którym mamy tylko symbole funkcji i/albo stałych, a nie relacji. Nie oznacza to brak relacji w modelu, każda funkcja jest bowiem relacją.
[edytuj] Przykłady struktur matematycznych
- Grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
- Częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
[edytuj] Własności i zastosowania
Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe (jest to teoria tego modelu). Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).
Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.
Zobacz też: podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki, model Herbranda.
