Funkcja mierzalna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcja mierzalna – podstawowe pojęcie teorii miary. Pojęcie funkcji mierzalnej zakłada w domyśle, że funkcja określona jest między przestrzeniami mierzalnymi.

Spis treści

1 Definicja
2 Uwagi
3 Warunki równoważne mierzalności
4 Własności
5 Funkcje borelowskie
6 Własności funkcji borelowskich
7 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami mierzalnymi oraz $\mathfrak{M}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $X$ . Ponadto, niech $A\in\mathfrak{M}$ .
Odwzorowaniem mierzalnym (albo funkcją mierzalną) nazywamy każdą funkcję $f\colon A\longrightarrow Y$ taką, że przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego w przestrzeni $Y$ jest zbiorem mierzalnym w przestrzeni $X$ .

[edytuj] Uwagi

Termin funkcja mierzalna używany jest raczej w przypadku, gdy Y jest zbiorem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych. Jako σ-ciało zbiorów mierzalnych w przestrzeni Y przyjmuje się domyślnie σ-ciało zbiorów borelowskich, chyba że wskazano inaczej. Podobnie, gdy Y jest dowolną przestrzenią topologiczną.

O funkcjach mierzalnych mówimy zawsze w odniesieniu do pewnej ustalonej miary (a więc także i pewnego σ-ciała $\mathfrak{M}$ ) stąd bardziej precyzyjnym określeniem jest funkcja $\mathfrak{M}$ -mierzalna.

[edytuj] Warunki równoważne mierzalności

Przyjmijmy, jak w definicji, $Y=\overline{\mathbb{R}}$ .
Wówczas jeśli $f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ , to każde dwa z następujących zdań są równoważne:

$f$ jest funkcją $\mathfrak{M}$ -mierzalną.
$\bigwedge_{a\in\mathbb{R}}$ $\big[ \{x\in A\colon f(x)> a\}\in\mathfrak{M} \big]$
$\bigwedge_{a\in\mathbb{R}}$ $\big[ \{x\in A\colon f(x)\geq a\}\in\mathfrak{M} \big]$
$\bigwedge_{a\in\mathbb{R}}$ $\big[ \{x\in A\colon f(x)< a\}\in\mathfrak{M} \big]$
$\bigwedge_{a\in\mathbb{R}}$ $\big[ \{x\in A\colon f(x)\leq a\}\in\mathfrak{M} \big]$
$\bigwedge_{B\in\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})}$ $\big[ f^{-1}(B)\in\mathfrak{M}\big]$
$\{x\in A\colon f(x)=+\infty\}\in \mathfrak{M}\quad \wedge$ $\bigwedge_{B\in\mathcal{B}({\mathbb{R}})}$ $\big[ f^{-1}(B)\in\mathfrak{M}\big]$
$\{x\in A\colon f(x)=-\infty\}\in \mathfrak{M}\quad \wedge$ $\bigwedge_{B\in\mathcal{B}({\mathbb{R}})}$ $\big[ f^{-1}(B)\in\mathfrak{M}\big]$

Uwaga: Czasem za definicję funkcji mierzalnej przyjmuje się drugie ze zdań równoważnych tezy.

[edytuj] Własności

Suma, różnica, iloczyn i iloraz (jeśli jest określony), minimum i maksimum funkcji mierzalnych są mierzalne.
Funkcja stała jest mierzalna.
Złożenie dwóch funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
Zbiór funkcji mierzalnych tworzy (rzeczywistą bądź zespoloną przestrzeń liniową (w zależności od zbioru Y).

[edytuj] Funkcje borelowskie

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną (topologiczną) i $B\in\mathcal{B}(X)$ . Funkcję $f\colon B \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ nazywamy borelowską wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją $\mathcal{B}(X)$ -mierzalną.

[edytuj] Własności funkcji borelowskich

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną (topologiczną), $B\subseteq X$ będzie zbiorem borelowskim. Jeśli $f\colon B\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ jest ciągła, to jest borelowska.
Jeśli $f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ jest funkcją $\mathfrak{M}$ -mierzalną, $B\in\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}), f(A)\subset B$ oraz $g\colon B\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$ jest funkcją borelowską, to $g\circ f$ jest funkcją mierzalną.