Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł wymaga dopracowania.
Należy w nim poprawić: Język. Czy ktoś tu sprawdza poprawność językową?.
Więcej informacji co należy poprawić, być może znajdziesz w dyskusji tego artykułu lub na odpowiedniej stronie. W pracy nad artykułem należy korzystać z zaleceń edycyjnych. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.
Możesz także przejrzeć pełną listę stron wymagających dopracowania.

Ten artykuł dotyczy rodziny zbiorów otwartych oraz przestrzeni z wyszczególnioną rodziną zbiorów otwartych. Zobacz też: Topologia.

Przestrzeń topologiczna i topologia na danym zbiorze to podstawowe pojęcia w dziedzinie matematyki nazywanej topologią.

[edytuj] Intuicje

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowane przy użyciu zbiorów otwartych tylko. Na przykład, można wykazać, że funkcja $f: \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz $f - 1 (U)$ dowolnego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty. Przypomnijmy, że zbiory otwarte to takie zbiory które stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu – środka – o mniej niż zadana odległość – promień). Rodzina otwartych podzbiorów prostej rzeczywistej ma szereg własności używanych w wielu dowodach, m. in.

zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwartymi,
przekrój (część wspólna) dwu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Jeśli rozważania z ${\mathbb R}$ powtarzamy w dowolnej innej przestrzeni metrycznej (w naturalny sposób używając nowej metryki zamiast odległości na prostej), to zauważamy że podstawowe własności zbiorów otwartych i ich użycie w wielu rozumowaniach nie ulegają zmianie. Często okazuje się, że zrozumienie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż studiowanie samej metryki. Przestrzeń topologiczna to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej – można powiedzieć, że to przestrzeń z zadanymi zbiorami otwartymi, a zakładane własności rodziny zbiorów otwartych to minimum niezbędne do budowy ciekawej teorii.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Mówimy, że $τ$ jest topologią na zbiorze $X$ , jeśli $τ$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ spełniającą następujące warunki:

$\emptyset,X\in\tau$ ,
jeśli $U,V\in\tau$ , to też $U\cap V\in\tau$ ,
jeśli ${\mathcal A}\subseteq \tau$ , to $\bigcup{\mathcal A}\in \tau$ .

Jeśli $τ$ jest topologią na zbiorze $X$ , to

parę $(X,τ)$ nazywamy przestrzenią topologiczną, a zbiór $X$ nazywamy krótko przestrzenią,
elementy rodziny $τ$ nazywamy otwartymi podzbiorami przestrzeni $X$ ,
dopełnienia (do przestrzeni $X$ ) zbiorów otwartych nazywamy domkniętymi podzbiorami przestrzeni $X$ .

[edytuj] Różne sposoby wprowadzania topologii

Aby określić topologię na danym zbiorze $X$ , należy zadeklarować które z podzbiorów $X$ mają być otwarte (i sprawdzić, że rodzina zbiorów otwartych spełnia wymagania sformułowane powyżej). W praktyce topologicznej, robi się to często przez opisanie innych rodzin zbiorów lub operacji na zbiorach, z których następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni w oparciu o "ogólną teorię".

Poniżej, niech $X$ będzie ustalonym zbiorem niepustym.

[edytuj] Określenie rodziny zbiorów domkniętych

Przypuśćmy że rodzina $\mathcal F$ podzbiorów $X$ spełnia następujące warunki:

$\emptyset,X \in \mathcal F$ ,
suma skończenie wielu zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$ ,
część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $τ$ na $X$ taka, że $\mathcal F$ jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

[edytuj] Określenie operacji wnętrza

Przypuśćmy, że operacja $\operatorname{int}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ na podzbiorach zbioru $X$ spełnia następujące warunki:

(IO1) $\operatorname{int}(X)=X$ ,

(IO2) $\operatorname{int}(A) \subseteq A$ dla każdego zbioru $A \subseteq X$ ,

(IO3) $\operatorname{int}(A \cap B)=\operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)$ dla dowolnych $A,B\subseteq X$ ,

(IO4) $\operatorname{int}\big(\operatorname{int}(A)\big)=\operatorname{int}(A)$ .

Wówczas $τ$ jest jedyną topologią na $X$ taka, że $\operatorname{int}$ jest operacją wnętrza dla tej topologii.

[edytuj] Określenie operacji domknięcia

Przypuśćmy, że operacja $\operatorname{cl}:{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X)$ na podzbiorach zbioru $X$ spełnia następujące warunki:

(CO1) $\operatorname{cl}(\emptyset)=\emptyset$ ,

(CO2) $A\subseteq \operatorname{cl}(A)$ dla każdego zbioru $A\subseteq X$ ,

(CO3) $\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}(A)\cup \operatorname{cl}(B)$ dla dowolnych $A,B\subseteq X$ ,

(CO4) $\operatorname{cl}\big(\operatorname{cl}(A)\big)=\operatorname{cl}(A)$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $τ$ na $X$ taka, że $\operatorname{cl}$ jest operacją domknięcia dla tej topologii.

[edytuj] Określenie bazy

Przypuśćmy że rodzina ${\mathcal B}$ podzbiorów $X$ spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli $U,V\in {\mathcal B}$ oraz $x\in U\cap V$ , to można znaleźć $W\in {\mathcal B}$ taki że $x\in W\subseteq U\cap V$ ,

(B2) dla każdego $x\in X$ można znaleźć $U\in {\mathcal B}$ takie że $x\in U$ .

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $τ$ na $X$ taka, że rodzina ${\mathcal B}$ jest bazą tej topologii.

[edytuj] Określenie systemu otoczeń

Załóżmy, że $\{{\mathcal B}(x):x\in X\}$ jest systemem podzbiorów $X$ takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego $x\in X$ , $\mathcal B(x) \neq \emptyset$ i dla każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $x\in U$ .

(BP2) Jeśli $x\in U\in \mathcal B(y)$ , $x, y \in X$ , to istnieje $V \in \mathcal B(x)$ takie, że $V\subseteq U$ .

(BP3) Dla każdych $U_1, U_2 \in \mathcal B(x)$ , $x\in X$ , można znaleźć $U\in \mathcal B(x)$ takie, że $U \subseteq U_1 \cap U_2$ .

Niech $τ$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$ , które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup_{x\in X} \mathcal B(x)$ . Wówczas $τ$ jest topologią na $X$ i $\{\mathcal B(x): x\in X\}$ jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.