Granica funkcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Granica funkcji - jedno z podstawowych pojęć matematycznych, znane intuicyjnie już w starożytności i stosowane wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania; polegała ona na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach. Termin "limes" (granica) pojawił się w XVII w. w pracach I. Newtona oraz G.W. Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia. Współczesne określenie granicy funkcji powstało w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą, ścisłą, definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał A.L. Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej K. Weierstrass.

Nieformalnie: funkcja ma granicę $g$ w punkcie $p$ , jeśli wartość $f (x)$ funkcji możemy uczynić tak bliską $g$ jak tylko chcemy, jeśli tylko $x$ będzie dostatecznie bliska $p$ .

[edytuj] Granica funkcji w punkcie

Funkcja $f: A \to \mathbb R$ , określona na zbiorze $A\subseteq \mathbb R$ , ma w punkcie $x 0$ , będącym punktem skupienia zbioru $A$ , granicę równą $g$ , co zapisuje się $f(x)\to g$ przy $x\to x_0$ , lub $\lim_{x \to x_0}f(x)=g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach granicy funkcji w punkcie:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in A\mbox{, }x_n\ne x_0\mbox{ i }\lim_{n \to\infty}x_n=x_0$ , ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do

g

przy $n \to \infty$ , co zapisuje się: $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=g$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

Dla każdej liczby liczby

ε > 0

istnieje liczba

δ > 0

taka, że dla każdego $x\in A$ z nierówności $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ wynika nierówność $\left|f(x)-g\right|<\epsilon$ ; w zapisie symbolicznym:

$\lim_{x \to x_0}f(x)=g\iff\forall_{\epsilon >0}\;\exists_{\delta >0}\;\forall_{x\in A}\;\; (0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x) - g|<\epsilon)$

[edytuj] Granica jednostronna funkcji w punkcie

Zobacz więcej w osobnym artykule: Granica jednostronna.

Wspólna nazwa dla granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie.

[edytuj] Granica lewostronna

Liczba $g$ jest granicą lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x 0$ , będącym lewostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji $f$ , co zapisuje się $f(x)\to g$ przy $x\to x_0^-$ , lub $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in A\mbox{, }x_n < x_0\mbox{ i }\lim_{n \to\infty}x_n=x_0$ , ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do

g

przy $n \to \infty$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

$\lim_{x \to x_0^-}f(x)=g\iff\forall_{\epsilon >0}\;\exists_{\delta >0}\;\forall_{x\in A}\;\; (x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x) - g|<\epsilon)$

[edytuj] Granica prawostronna

Liczba $g$ jest granicą prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x 0$ , będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji $f$ , co zapisuje się $f(x)\to g$ przy $x\to x_0^+$ , lub $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=g$ , gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in A\mbox{, }x_n > x_0\mbox{ i }\lim_{n \to\infty}x_n=x_0$ , ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do

g

przy $n \to \infty$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=g\iff\forall_{\epsilon >0}\;\exists_{\delta >0}\;\forall_{x\in A}\;\; (x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x) - g|<\epsilon)$

[edytuj] Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Funkcja $f$ ma w punkcie $x 0$ granicę niewłaściwą $\infty$ (albo $-\infty$ ), co zapisuje się: $f(x)\to \infty$ przy $x\to x_0$ , lub $\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty$ (albo odpowiednio: $f(x)\to -\infty$ przy $x\to x_0$ , lub $\lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty$ ), gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in A\mbox{, }x_n\ne x_0\mbox{ i }\lim_{n \to\infty}x_n=x_0$ , ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do $\infty$ przy $n \to \infty$ (albo odpowiednio $f(x)\to -\infty$ przy $n\to \infty)$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty\iff\forall_{M>0}\;\exists_{\delta >0}\;\forall_{x\in A}\;\; (0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M)$

$\lim_{x \to x_0}f(x)=-\infty\iff\forall_{m<0}\;\exists_{\delta >0}\;\forall_{x\in A}\;\; (0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<m)$

Analogicznie określa się lewo- i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.

[edytuj] Granica funkcji w nieskończoności

Funkcja $f$ określona w przedziale $(a;\infty)$ (albo $(-\infty;a)$ ) ma w nieskończoności granicę $g$ , co zapisuje się: $f(x)\to g$ przy $x\to \infty$ (albo odpowienio $x\to -\infty$ ), lub $\lim_{x \to \infty}f(x)=g$ (albo odpowiednio $\lim_{x \to -\infty}f(x)=g$ ), gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in (a;\infty)\mbox{ i }x_n\to \infty$ (albo odpowiednio $x_n \in (-\infty;a)\mbox{ i }x_n\to -\infty$ ), ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do

g

przy $n \to \infty$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=g\iff\forall_{\epsilon >0}\;\exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x\in (\alpha;\infty)}\;\; (x>\alpha \implies |f(x) - g|<\epsilon)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=g\iff\forall_{\epsilon >0}\;\exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x\in (-\infty;\alpha)}\;\; (x<\alpha \implies |f(x) - g|<\epsilon)$

[edytuj] Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności

Funkcja określona na przedziale $(a;\infty)$ ma w nieskończoności $(\infty)$ granicę niewłaściwą $\infty$ (albo $-\infty$ ), co zapisuje się $f(x)\to \infty$ (albo odpowiednio $f(x)\to -\infty$ ) przy $x\to \infty$ , lub $\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$ (albo odpowiednio $\lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty$ ), gdy spełnione są warunki określone w następujących dwu równoważnych definicjach:

[edytuj] Definicja Heinego

Dla każdego ciągu $\left( x_n \right)$ takiego, że $x_n \in (a;\infty)\mbox{ i }x_n\to \infty$ , ciąg wartości funkcji $f \left(x_n\right)$ dąży do $\infty$ (albo odpowiednio $f(x_n) \to -\infty$ ) przy $n \to \infty$ , co zapisuje się: $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\infty$ (albo odpowiednio $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=-\infty$ ).

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\iff\forall_{M>0}\;\exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x\in (\alpha;\infty)}\;\; (x>\alpha \implies f(x)>M)$

$\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty\iff\forall_{m<0}\;\exists_{\alpha \in \mathbb R}\;\forall_{x\in (\alpha;\infty)}\;\; (x>\alpha \implies f(x)<m)$

Analogicznie definiuje się granice niewłaściwe funkcji w $-\infty$ .

[edytuj] Własności granic

Jeśli funkcje $f$ i $g$ określone są na zbiorze $A \subseteq \mathbb R$ mają granice właściwe $\lim_{x \to x_0}f(x)=g$ i $\lim_{x \to x_0}h(x)=p$ , to:

$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm h(x))=g \pm p$ ,
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot h(x))=g \cdot p$ ,
$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over h(x)}={g \over p}$ , gdy $h(x) \ne 0 \mbox{ i } p \ne 0$ .

Uwaga:

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.
Należy pamiętać, że nie jest prawdziwe twierdzenie odwrotne, np. to, że $\lim_{x \to \infty}{\sin x \over x}=0$ nie oznacza, że istnieją granice $\lim_{x \to \infty}\sin x \mbox{ i }\lim_{x \to \infty}{1 \over x}$ . W podanym w przykładzie granica $\lim_{x \to \infty}\sin x$ nie istnieje, natomiast $\lim_{x \to \infty}{1 \over x}=0$ .

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja $f: A \to \mathbb R$ ma w punkcie

x 0

granicę $\lim_{x \to x_0}f(x)=y_0$ , funkcja $h: B \to \mathbb R$ ma w punkcie

y 0

granicę $\lim_{y \to y_0}h(y)=g$ , przy czym

x 0

y 0

są odpowieniednio punktami skupienia zbiorów $A \cap f^{-1}[B]\mbox{ i }B$ , oraz $f(x) \ne y_0$ dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu

x 0

, to $\lim_{x \to x_0}(h\circ f)(x)=\lim_{y \to y_0}h(y)=g$ .

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i granic funkcji w nieskończoności.

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)}=0$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=0\mbox{ i }f(x)>0$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)}=\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=0\mbox{ i }f(x)<0$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)}=-\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=\pm\infty\mbox{ i }c>0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\pm\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=\pm\infty\mbox{ i }c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=\pm\infty\mbox{ i }0<a\leq h(x)$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}f(x)\cdot h(x)=\pm\infty$ ,
$\lim_{x \to x_0}f(x)=\pm\infty\mbox{ i }h(x)\leq a<0$ w pewnym sąsiedztwie $x_0 \implies \lim_{x \to x_0}f(x)\cdot h(x)=\mp\infty$ .