Kardioida
Z Wikipedii
Kardioida (krzywa sercowa) – krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Kardioida jest odmianą epicykloidy.
[edytuj] Równania
Kardioida dana jest równaniem:
- (x2 + y2 − ax)2 = a2(x2 + y2)
W układzie współrzędnych biegunowych równanie przyjmuje postać:
- r = a(1 + cosθ)
Pole powierzchni wynosi 
, zaś obwód 8a.
Obwód : R*integral(sqrt((1+cos(theta))^2+(-sin(theta))^2),0..2*Pi)= R*integral(sqrt(1+2*cos(t)+1),0..2*Pi)= 2*R*integral(abs(cos(theta/2)),0..2*Pi)= 4*R*((sin(theta/2),0..Pi)-(sin(theta/2),Pi..2*Pi))= 4*R*((1-0)-(0-1))=4*R*(1-(-1))=4*R*2=8*R Pole : (1/2)*R^2*integral((1+cos(theta))^2,0.2*Pi)= (1/2)*R^2*integral(1+2*cos(theta)+cos(theta)^2,0..2*Pi)= integral((1+cos(theta))^2)= theta+2*sin(theta)+(1/2)*(sin(theta)*cos(theta)+theta) integral(cos(theta)*cos(theta))= sin(theta)*cos(theta)+integral(sin(theta)*sin(theta))=integral(cos(theta)^2)= sin(theta)*cos(theta)+theta=2*integral(cos(theta)^2) integral((1+cos(theta))^2,0..2*Pi)= (1/2)*R^2*(((3/2)*theta+2*sin(theta)+(1/2)*sin(theta)*cos(theta)),0..2*Pi)= (1/2)*R^2*(3*Pi+0+0-(0+0+0))= (3/2)*Pi*R^2
