Miara zespolona
Z Wikipedii
Miara zespolona - szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha - gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.
[edytuj] Definicja
Jeśli 
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M, to funkcję 
, spełniającą warunek
dla każdego ciągu 
zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała 
, nazywamy miarą zespoloną.
[edytuj] Postać biegunowa
Jeżeli jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru M, to istnieje wówczas funkcja mierzalna h taka, że | h(x) | = 1 dla 
oraz dν = hd | ν | , gdzie | ν | oznacza wahanie miary zespolonej ν.
Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym 1, równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary ν.
[edytuj] Bibliografia
- Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 8301051248
