Przestrzeń Banacha

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Przykłady
2 Operatory liniowe
3 Różniczkowanie odwzorowań
4 Przestrzeń dualna
5 Bibliografia
6 Zobacz też

Przestrzeń Banacha – przestrzeń wektorowa z normą zupełną (tzn. przestrzeń metryczna z metryką generowaną przez określoną w niej normę jest zupełna).

Nazwa wywodzi się od nazwiska Stefana Banacha, który jako jeden z pierwszych badał tego typu przestrzenie i podał zasadnicze twierdzenia analizy funkcjonalnej, w której przestrzenie Banacha są podstawowym pojęciem.

[edytuj] Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych $\mathbb R$ lub zespolonych $\mathbb C$ .

Każde z tych ciał traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą jest przestrzenią Banacha z normą wartości bezwględnej. Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej.
Przestrzeń $K n$ złożona z uporządkowanych krotek $x = (x_1, \dots, x_n)$ skalarów z normą określoną wzorem $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ jest przestrzenią Banacha.
Ta sama przestrzeń z normą określoną wzorem $\|x\| = \sup_{1<i<n} |x_i|$ jest przestrzenią Banacha. W skończeniewymiarowej przestrzeni Banacha wszystkie normy określają tę samą topologię.
Przestrzeń $C[a, b]$ wszystkich funkcji ciągłych na przedziale domkniętym $[a, b]$ o wartościach w $K$ z normą określoną jako $\|f\| = \sup \{|f(x)|: x \in [a, b]\}$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ta jest jednocześnie przykładem algebry Banacha.
Dla $p \in \mathbb N_2$ naturalnego rozważmy przestrzeń $l p$ wszystkich ciągów nieskończonych $(x_1, x_2, x_3, \dots)$ o wyrazach z $K$ takich, że szereg liczbowy

∑	\| x_i \| ^p
i

jest zbieżny. Jeśli określić normę ciągu jako pierwiastek $p$ -tego stopnia z powyższej sumy, to znów otrzymamy przestrzeń Banacha.

Dla $\mathbb N \ni p > 1$ rozważmy przestrzeń $V$ wszystkich funkcji $f\colon [a, b] \to K$ takich, że funkcja $| f p |$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. Jeśli rozważyć podprzestrzeń $U$ tej przestrzeni, złożoną z tych funkcji, dla których owa całka jest równa zeru, to przestrzeń ilorazowa $V / U$ oznaczana $L p [a, b]$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze.

Jeżeli $U$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni Banacha $V$ , to $U$ jest przestrzenią Banacha. Również przestrzeń ilorazowa $V / U$ jest przestrzenią Banacha.

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.

[edytuj] Operatory liniowe

Jeżeli $U$ i $V$ są przestrzeniami Banacha nad tym samym ciałem, to w przestrzeni $L (U, V)$ wszystkich ciągłych przekształceń liniowych z $U$ do $V$ można określić normę: $\|F\| = \sup \left\{ \|F(x)\|_V: x \in U, \|x\|_U < 1\right\}$ , która czyni z $L (U, V)$ przestrzeń Banacha.

Przestrzeń $L (V) = L (V, V)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest unitarną algebrą Banacha.

[edytuj] Różniczkowanie odwzorowań

Jeżeli $f\colon U \to V$ jest odwzorowaniem z jednej przestrzeni Banacha do drugiej, to uogólniając klasyczne podejście do pochodnej funkcji, można określić pochodną tego odwzorowania.

Powiemy, że $f$ jest różniczkowalne w punkcie $x \in U$ , jeżeli istnieje ciągłe przekształcenie liniowe $F: U \to V$ takie, że

$\lim_{h \to 0} {\|f(x + h) - f(x) - F(h)\| \over \|h\|} = 0$ .

Odwzorowanie $F$ nazywamy pochodną $f$ w punkcie $x$ i oznaczamy standardowo $f'(x)$ lub $D f (x)$ .

Jeżeli $f$ jest różniczkowalne w każdym punkcie $x \in U$ , to $f^{\prime}\colon U \to L(U, V)$ znów jest odwzorowaniem między przestrzeniami Banacha, nazywanym pochodną $f$ i jako takie znów może mieć swoją pochodną. Konstrukcję tę można kontynuować – otrzymuje się wtedy pochodne wyższych rzędów $f$ . $n$ -tą pochodną $f$ w punkcie $x$ można utożsamić z odwzorowaniem wieloliniowym z $U n$ do $V$ .

Tak określone różniczkowanie w przestrzeni Banacha zachowuje podstawowe własności zwykłego różniczkowania, włącznie z regułą różniczkowania funkcji złożonej.

[edytuj] Przestrzeń dualna

Jeżeli $V$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $K$ , to przestrzeń $L (V, K)$ funkcjonałów liniowych ciągłych jest również przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznaczamy $V *$ i nazywamy przestrzenią sprzężoną z $V$ – pozwala ona zdefiniować na $V$ tak zwaną słabą topologię.

Przestrzeń $V$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $V * *$ (sprzężonej ze sprzężoną). Wystarczy każdemu wektorowi $v \in V$ przypisać funkcjonał $\varphi_v\colon V^* \to K$ określony równością $\varphi_v(x^*) = x^*(v)$ .