Odwzorowanie otwarte

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Spis treści

1 Definicje
2 Przykłady
3 Charakteryzacje i własności
4 Zobacz też
5 Bibliografia

[edytuj] Definicje

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy że funcja $f:X\longrightarrow Y$ jest otwarta jeśli obraz każdego otwartego podzbioru $X$ jest otwarty w $Y$ . Tak więc $f$ jest owzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy

$\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(f(A)\in\tau_Y\big).$

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli $f$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

$\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(Y\setminus f(X\setminus A)\in\tau_Y\big).$

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji $f$ , w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo że funkcja $f$ jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski^[1], Engelking^[2]

[edytuj] Przykłady

Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym jak i odwzorowaniem domkniętym.
Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
Jeśli $X=\prod\limits_{i\in I}X_i$ jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, $j\in I$ oraz

$\pi_j:X\longrightarrow X_j:\bar{x}=\langle x_i:i\in I\rangle\mapsto x_j$

jest rzutem na

j

-tą wspołrzędną, to

π j

jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni

X

na przestrzeń

X j

Jeśli $Y$ jest przestrzenią dyskretną to każda funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła, oczywiście).
Funkcja $g:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}:r\mapsto r^2$ jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem ${\mathbb R}$ ). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie $g:{\mathbb R}\longrightarrow [0,\infty)$ jest otwarta. Przykład ten pokazuje że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

[edytuj] Charakteryzacje i własności

Niech $f:X\longrightarrow Y$ . Wówczas

(a)

f

jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego domkniętego zbioru $A\subseteq X$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A$ , istnieje zbiór domknięty $C\subseteq Y$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A$ ;

(b)

f

jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego otwartego zbioru $A\subseteq X$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A$ , istnieje otwarty zbiór $C\subseteq Y$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A$ .

Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
Funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje baza ${\mathcal B}$ topologii na $X$ taka że $f (U)$ jest otwarte w $Y$ dla każdego $U\in {\mathcal B}$ .
Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą i $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym.
Przypuśćmy że odwzorowanie $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) Odwzorowanie

f

jest homeomorfizmem.

(ii) Odwzorowanie

f

jest domknięte i ciągłe.

(iii) Odwzorowanie

f

jest otwarte i ciągłe.

(iv) Dla każdego zbioru $A\subseteq X$ ,

$f (A)$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy $A$ jest domknięty w $X$ .

(v) Dla każdego zbioru $A\subseteq X$ ,

$f (A)$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy $A$ jest otwarty w $X$ .

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 115.
↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strony 31-32. ISBN 3-88538-006-4

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../o/d/w/Odwzorowanie_otwarte.html"

Kategoria: Topologia