Prawo wzajemności reszt kwadratowych
Z Wikipedii
Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie.
Prawo wzajemności udowodnił Gauss, choć znali je już Euler i Legendre
Niech p i q będą dwoma różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że p i q przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
ma rozwiązanie y; na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
nie ma rozwiązania y.
Korzystając z symbolu Legendre'a
=1 jeśli p jest resztą kwadratową modulo q i -1 w przeciwnym wypadku,
oba stwierdzenia można zapisać następująco:
Ponieważ 
jest parzyste jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby p i q są nieparzyste, 
jest równe 1 jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4.
Ciekawy jest fakt, że znanych jest około 200 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.
