Równanie przewodnictwa cieplnego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie przewodnictwa cieplnego to równanie różniczkowe cząstkowe z warunkami brzegowymi Dirichleta, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku. Równanie ma postać:

$\begin{cases} \frac{\partial}{\partial t}u - \triangle_{x}u = 0, & x \in \mathbb{R}^n, t \in \mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = g(x) , & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{cases}$

gdzie $g (x)$ to początkowy rozkład ciepła. A $u (x, t)$ to szukana zależność rozkładu od czasu $t$ .

Spis treści

1 Rozwiązanie równania przewodnictwa
2 Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła
3 Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła
4 Wyprowadzenie równania przewodnictwa
5 Czy zagadnienie jest dobrze postawione?
6 Zobacz też

[edytuj] Rozwiązanie równania przewodnictwa

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności $u \in C^2(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty))$ .

Rozwiązazaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

$E(x,t) = (4\pi t)^{-n/2} \exp(\frac{-|x|^2}{4t})$

Można sprawdzić, że spełnia ono:

$\int\limits_{\mathbb{R}^n}{E(x,t)dx} = 1$
$E_t - \triangle_x E = 0$

Jeśli funkcja $g$ jest ciągła i ograniczona to funkcja

$u(x,t) = \begin{cases} \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)dy},& t>0 \\ g(x), & t=0 \end{cases}$

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy $C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty))$ . Używając pojęcia splotu można napisać:

$u(x, t) = g(\cdot) * E(x-\cdot, t)$

[edytuj] Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła

Przypuśćmy, że $g$ ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest $g > 0$ . Wówczas

$u(x,t) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)} \ge 0$

dla każdego $x\in\mathbb{R}^n, t > 0$ . Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego w praktyce używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego.

[edytuj] Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła

Niech $T > 0$ ustalony czas, oraz $u (x, t)$ ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy $\Omega=\mathbb{R}^n \times [0, T]$ oraz $\Omega_0 = \mathbb{R}^n \times {0}$ . Wówczas

$\sup_{\Omega}{u(x,t)} = \sup_{\Omega_0}{u(x, 0)}$
$\inf_{\Omega}{u(x,t)} = \inf_{\Omega_0}{u(x, 0)}$

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie $t = 0$ przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i "uśredniać", zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

[edytuj] Wyprowadzenie równania przewodnictwa

Interpretujemy funkcję $u (x, t)$ jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło $J (x, t)$ ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

$J(x, t) = -k \cdot \triangledown_x{u}$

Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

$\int\limits_{V}{\frac{\partial u}{\partial t}} = - \int\limits_{\partial V}{J \circ n}$

A z twierdzenie Gaussa:

$\int\limits_{V}{J}=\int\limits_{\partial V}{J \circ n},$

gdzie $J \circ n = \frac{\partial J}{\partial n}$ oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

$\int\limits_{V}{(\frac{\partial u}{\partial t} + div{J})dx} = 0$

Z dowolności $V$ mamy:

$\frac{\partial u}{\partial t} + div J = 0,$

czyli:

$\frac{\partial u}{\partial t} - k \triangle_x{u} = 0.$

[edytuj] Czy zagadnienie jest dobrze postawione?

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji $g$ , zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznazne. Trudny przykład został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. $u \in C^2(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty))$ zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.