Уравнение диффузии
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.
Содержание |
[править] Нестационарное уравнение
Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.
[править] Одномерный случай
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D уравнение имеет вид:
- .
При постоянном D приобретает вид:
где c(x,t) – концентрация диффундирующего вещества, a f(x,t) - функция, описывающая источники вещества (тепла).
[править] Трёхмерный случай
В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:
а при постоянном D приобретает вид:
где - оператор Лапласа.
В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией c(x,0)=δ(x) и граничном условии c(∞,t)=0) есть
В этом случае c(x,t) можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время t перейдёт в пункт с координатой x. Тогда средний квадрат пройденного пути есть
Такому параболическому закону подчиняется, например, рост окисных плёнок на поверхностях металлов при высоких температурах. Необходимым условием при этом является достаточное количество кислорода в окружающей среде.
В случае произвольного начального распределения c(x,0) общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:
[править] Частные замечания
Вывод уравнений диффузии и теплопроводности основывается на классической физике, поэтому в них нет учёта квантовых и релятивистских эффектов. Последнее видно по фундаментальному решению уравнения, согласно которому вещество мгновенно распростаняется на сколь угодно большие расстояния.
[править] Стационарное уравнение
В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные с временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид: