Ruch harmoniczny

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ruch harmoniczny drgania opisane funkcją harmoniczną (sinusoidalną), jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, wiele rodzajów jest w przybliżeniu harmoniczna. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Spis treści

1 Ruch harmoniczny prosty
- 1.1 Energia w ruchu harmonicznym prostym
2 Ruch harmoniczny tłumiony
3 Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne
4 Przykłady ruchów harmonicznych
5 Zobacz też

[edytuj] Ruch harmoniczny prosty

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się tylko pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi (Prawo Hooke'a):

$\vec{F}= -k\vec{x}$

gdzie

$\vec{F}$ - siła,

$k$ - współczynnik sprężystości,

$\vec{x}$ - wychylenia z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać jako:

$a = -\frac{k}{m} x$ (Druga Zasada Dynamiki Newtona), w postaci różniczkowej:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można opisać przez równania:

$x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t) \,$
$x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)$
$x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')$

gdzie:

$\omega_0^2 = \frac k m$ jest częstością kołową drgań,
$A,B,C,\varphi,D,\varphi'$ stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

$ω 0$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań $T$ wynosi

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$

częstotliwość drgań $ν$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

[edytuj] Energia w ruchu harmonicznym prostym

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

$E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}(t)$

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(t) - \frac{1}{2}kx^{2}(t)$

$E_{k}(t) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2}(1-\sin^{2}(\omega t))$

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze $E_{k}=\frac{1}{2} mv^{2}$ z powyższym):

Ciało drgajace ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

$v 0 = x 0 ω 0$

prędkość chwilowa zmienia się jak

$v(t) = \left. x_{0}\omega_{0} \cos(\omega_{0} t + \phi)\right.$

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspeszenie jest opisywane zależnością:

$a(t) = \left.- x_{0}\omega_{0}^{2} \sin(\omega_{0} t + \phi)\right.$

[edytuj] Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

$\vec{F}_{op} = -b \vec{v}$

Równanie ruchu ma wtedy postać:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

[edytuj] Oscylator przetłumiony

Gdy:

$\omega_{0} \leq b$

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch okresowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

[edytuj] Oscylator drgający

Gdy

ω 0 > b

Analogicznie jak dla ruchu harmonicznego prostego rozwiązanie można przedstawić za pomocą kilku wzorów składowa okresowa, ale z dodatkowym czynnikiem tłumiącym:

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny).

$x_{3}(t) = A \sin(\omega t + \phi) e^{-\frac{t}{2\tau}} = A \sin(\omega t + \phi) e^{-\beta t}$

$x_{4}(t) = B \cos(\omega t + \phi) e^{-\frac{t}{2\tau}} = B \cos(\omega t + \phi) e^{-\beta t}$

gdzie

$\beta = \frac{b}{m}$

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4\tau^{2}}$ - jest zmodyfikowaną częstością kątową

$\tau = \frac{1}{2\beta} = \frac{1}{2}\frac{m}{b}$ - czas relaksacji (czas, po jakim energia całkowita oscylatora spada o 1/e )

Ostatecznie otrzymujemy analogiczny wzór:

$x(t) = \left.x_{0} \sin (\omega t + \phi) e^{-\beta t} \right.$

[edytuj] Diagramy fazowe

Wykres fazowy ruchu harmonicznego

Na wykresie fazowym obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).

Parametry ruchów:

$ω$ = 1.0
$β$ = 0.2
$x 0$ = 1.0
$v 0$ = 1.0

[edytuj] Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne

Załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu równowagi trwałej, wtedy istnieje pewien punkt $x r$ w którym energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną $E (x r)$ . Z godnie z Twierdzeniem Taylora można rozwinąć energię w tym punkcie w szereg potęgowy postaci:

$E(x_{r}+h) = E(x_{r}) + \left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}} \cdot h + \left . \frac{1}{2} \frac{d^{2}E}{dx^{2}} \right |_{x = x_{r}} \cdot h^{2} + ...$

Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny wsytępowania minimum), pozostaje równanie postaci:

$E (x) = E + k x 2$

Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny gradient potencjału (energii potencjalnej).

$F(x) = - \frac{dE(x)}{dx} = -kx$