Twierdzenie Wilsona

Z Wikipedii

Twierdzenie Wilsona dotyczące teorii liczb zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również dowody mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu).

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Wilsona jest również prawdziwe.

[edytuj] Teza

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to liczba (p − 1)! + 1 jest podzielna przez p.

Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej czy jest pierwsza. Jednak nie istnieją efektywne algorytmy obliczania silni, czyli twierdzenie to nie ma praktycznego znaczenia.

[edytuj] Szkic dowodu

Gdy n jest liczbą złożoną to n = pq dla pewnych . Wtedy liczba (n − 1)! będąc iloczynem wszystkich liczb od 1 do n − 1 jest podzielna przez pq. Zatem (n-1)! dzieli się przez n i wreszcie (n-1)! + 1 nie może dzielić się przez n.

Niech teraz n będzie liczbą pierwszą. W tej sytuacji pierścień Z_n jest ciałem. Jak zostało zauważone w uwadze na temat pierwiastków z 1, w ciele Z_n mamy tylko dwa pierwiastki z 1: 1 i n-1. Z drugiej strony, w ciele każdy element (w tym wypadku - liczba pomiędzy 1 i (n-1)) ma element odwrotny ze względu na mnożenie. Tym samym zachodzi:

Z tego wynika, że (n-1)! mod n=n-1 czyli (n-1)!+1 mod n=0, co jest innym zapisem faktu, że n dzieli (n-1)!+1

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli możesz, rozbuduj go.